Questão 5
Seja
a seguinte função:
a. Achar o domínio da função
.
b. Calcular
e
.
c. Provar que
.
d. Estudar o sinal da função.
e. Encontrar as assíntotas verticais.
f. Provar que a reta
é uma assíntota oblíqua da função
.
g. Esboçar o gráfico da função.
b. Calcular
c. Provar que
d. Estudar o sinal da função.
e. Encontrar as assíntotas verticais.
f. Provar que a reta
g. Esboçar o gráfico da função.
Passo 1
A questão dá uma função racional
e pede domínio, limites no infinito, fatoração, estudo de sinal, assíntotas verticais e oblíqua, e o esboço do gráfico. Vamos usar teoria de funções racionais: zeros de denominar e numerador, divisão de polinômios e análise de sinais.
Passo 2
Para achar o domínio, basta exigir que o denominador não seja zero. Resolvemos
. Fatorando ou pela fórmula de Bhaskara, temos raízes
e
. Logo,
o domínio é
o domínio é
Passo 3
Para os limites no infinito, note que grau do numerador (3) é maior que grau do denominador (2). Então
para
. Assim,
Passo 4
Para fatorar o numerador, observe que
zera o polinômio, então fazemos divisão sintética por
ou agrupamento:
Passo 5
Para estudar o sinal de
, fatoramos tudo:
Passo 6
Os zeros e polos são em
. Montando o quadro de sinais, obtemos
Passo 7
As assíntotas verticais são nos pontos em que o denominador some sem cancelamento, isto é,
e
.
Passo 8
Para achar a assíntota oblíqua, dividimos o numerador pelo denominador:
Passo 9
Como
quando
, a reta
é assíntota oblíqua.
Passo 10
Com todos esses elementos – zeros (
), polos (
), quadro de sinais e assíntotas – fazemos o esboço: em cada intervalo respeitamos o sinal e aproximamos a curva da reta oblíqua longe dos polos.
Passo 11
O gráfico resultante mostra ramos que cruzam o eixo
em
, têm assíntotas verticais em
e se aproximam de
para
.
Resposta
a)
.
b) ,
.
c) .
d) Fatorando tudo, e o sinal é -, +, -, +, -, + nos intervalos determinados por -3,-2,-1,1,2.
e) Assíntotas verticais em e
.
f) Assíntota oblíqua: .
g) Gráfico: ramos com cruzamentos em -2,-1,2, assíntotas verticais em -3,1 e reta oblíqua .
b)
c)
d) Fatorando tudo,
e) Assíntotas verticais em
f) Assíntota oblíqua:
g) Gráfico: ramos com cruzamentos em -2,-1,2, assíntotas verticais em -3,1 e reta oblíqua