Questão 5

Seja f a seguinte função:
f: Dom(f) & R x & 2 x^3+2 x^2-8 x-8x^2+2 x-3
a. Achar o domínio da função f.
b. Calcular lim x -infty f(x) e lim x +infty f(x).
c. Provar que y=2 x-2.
d. Estudar o sinal da função.
e. Encontrar as assíntotas verticais.
f. Provar que a reta f é uma assíntota oblíqua da função .
g. Esboçar o gráfico da função.

Passo 1

A questão dá uma função racional f(x)=2x^3+2x^2-8x-8x^2+2x-3 e pede domínio, limites no infinito, fatoração, estudo de sinal, assíntotas verticais e oblíqua, e o esboço do gráfico. Vamos usar teoria de funções racionais: zeros de denominar e numerador, divisão de polinômios e análise de sinais.

Passo 2

Para achar o domínio, basta exigir que o denominador não seja zero. Resolvemos x^2+2x-3=0. Fatorando ou pela fórmula de Bhaskara, temos raízes x=1 e x=-3. Logo,
o domínio é Dom(f)= Rsetminus -3,1

Passo 3

Para os limites no infinito, note que grau do numerador (3) é maior que grau do denominador (2). Então f(x)sim 2x^3x^2=2x para xto pminfty. Assim,
limxto -inftyf(x)=-infty, limxto +inftyf(x)=+infty

Passo 4

Para fatorar o numerador, observe que -2 zera o polinômio, então fazemos divisão sintética por x+2 ou agrupamento:
2x^3+2x^2-8x-8=(x+2)(2x^2-2x-4)

Passo 5

Para estudar o sinal de f(x)=N(x)D(x), fatoramos tudo:
N(x)=2x^3+2x^2-8x-8=2(x+2)(x+1)(x-2),
D(x)=x^2+2x-3=(x+3)(x-1)

Passo 6

Os zeros e polos são em -3,-2,-1,1,2. Montando o quadro de sinais, obtemos
sinal de f(x): -infty< x< -3:;-, -3< x< -2:+, -2< x< -1:-, -1< x<1:+, 1< x<2:-, x>2:+

Passo 7

As assíntotas verticais são nos pontos em que o denominador some sem cancelamento, isto é, x=-3 e x=1.

Passo 8

Para achar a assíntota oblíqua, dividimos o numerador pelo denominador:
2x^3+2x^2-8x-8x^2+2x-3=2x-2+2x-14x^2+2x-3

Passo 9

Como 2x-14x^2+2x-3to0 quando xtopminfty, a reta y=2x-2 é assíntota oblíqua.

Passo 10

Com todos esses elementos – zeros ( -2,-1,2), polos ( -3,1), quadro de sinais e assíntotas – fazemos o esboço: em cada intervalo respeitamos o sinal e aproximamos a curva da reta oblíqua longe dos polos.

Passo 11

O gráfico resultante mostra ramos que cruzam o eixo x em -2,-1,2, têm assíntotas verticais em x=-3,1 e se aproximam de y=2x-2 para xtopminfty.

Resposta

a) Dom(f)= Rsetminus-3,1.
b) limxto -inftyf(x)=-infty, limxto +inftyf(x)=+infty.
c) 2x^3+2x^2-8x-8=(x+2)(2x^2-2x-4).
d) Fatorando tudo, f(x)=2(x+2)(x+1)(x-2)(x+3)(x-1) e o sinal é -, +, -, +, -, + nos intervalos determinados por -3,-2,-1,1,2.
e) Assíntotas verticais em x=-3 e x=1.
f) Assíntota oblíqua: y=2x-2.
g) Gráfico: ramos com cruzamentos em -2,-1,2, assíntotas verticais em -3,1 e reta oblíqua y=2x-2.

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