Questão 4

Estudar a continuidade da função f.
f: R & R x & f(x)= x^2-2 x+1x^2-3 x+2 & se x<1 0 & se x=1 1-cos (x-1)x-1 & se x>1

Passo 1

O enunciado pede pra estudar a continuidade da função por partes
f(x)=x^2-2x+1x^2-3x+2,&x<1 0,&x=1 1-cos(x-1)x-1,&x>1
O conteúdo principal é continuidade de funções definidas por partes e vamos usar limites laterais e o valor da função no ponto para decidir se ela é contínua.

Passo 2

Primeiro, para qualquer ponto em que x<1 ou x>1 a função é composta por operações algébricas (fração racional) ou por funções elementares (coseno) divididas por um termo não nulo no domínio. Em x<1 o denominador x²−3x+2=(x−1)(x−2) nunca zera, e em x>1 temos x−1≠0. Portanto f é contínua em todo ponto fora de x=1.

Passo 3

Agora verificamos a continuidade em x=1 usando limites laterais e o valor f(1)=0.
Limite à esquerda:
limxto1^-f(x)=limxto1^-(x-1)^2(x-1)(x-2)=limxto1^-x-1x-2=0
Limite à direita (usando o limite trigonométrico ou Regra de L’Hôpital):
limxto1^+1-cos(x-1)x-1=0
Como ambos os limites são 0 e coincidem com f(1)=0, f é contínua em x=1.

Resposta

A função f é contínua em todo R.

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