Neste problema, usando a forma polar De, você deverá provar que f(z)=barz não é diferenciável em todos os pontos.
(a) A que deve tender r se De ? deve tender a. um valor específico?
(b) Se f(z)=barz, mostre que
lim De
© Explique sucintamente por que o resultado da parte (b) mostra que f não é diferenciável em todos os pontos.

Passo 1

Neste exercício vamos analisar a função f(z)=z e verificar se ela é diferenciável, usando a forma polar de De. Vamos precisar lembrar que diferenciabilidade complexa exige que o quociente l(f(z+De tenha um limite único quando De.

Passo 2

Queremos responder: (a) para De, o que acontece com r em De?
Como De em módulo, temos r=|De. Não há valor fixo para theta; apenas r tende a zero.

Passo 3

Vamos calcular o quociente para a parte (b). Escrevendo
De
temos
f(z+De
Portanto
f(z+De

Passo 4

Na parte ©, observamos que esse limite depende de theta, ou seja, do caminho pelo qual De. Como não há um valor único para o limite, a derivada complexa não existe em nenhum ponto.

Resposta

(a) rto0. (b) costheta - isenthetacostheta + isentheta. © Esse valor varia com theta, logo não há limite único, e f não é diferenciável em nenhum ponto.

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