Questão 2
a. Enunciar o Teorema do Valor Intermediário.
b. Provar que a equação
tem pelo menos uma solução real.
b. Provar que a equação
Passo 1
O enunciado pede primeiro para enunciar o Teorema do Valor Intermediário e depois usar esse teorema para mostrar que a equação
tem ao menos uma raiz real. O conteúdo envolve continuidade de funções (polinômios) e o Teorema do Valor Intermediário para encontrar mudança de sinal.
Passo 2
O Teorema do Valor Intermediário afirma que se uma função
é contínua no intervalo
e um valor
está entre
e
, então existe pelo menos um
em
tal que
. Em particular, se
e
tiverem sinais opostos (ou seja,
), existe
com
.
Passo 3
Definimos
. Como
é um polinômio, sabemos que
é contínua em todo
. Então podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário em qualquer intervalo.
Passo 4
Calculamos
e
:
Como
, há mudança de sinal entre
e
.
Passo 5
Pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário num intervalo onde
e
, concluímos que existe
tal que
. Portanto, a equação tem pelo menos uma solução real.
Resposta
Existe pelo menos uma raiz real
tal que
.