Questão 2

a. Enunciar o Teorema do Valor Intermediário.
b. Provar que a equação 2 x^4-6 x^3+x^2-3 x-4=0 tem pelo menos uma solução real.

Passo 1

O enunciado pede primeiro para enunciar o Teorema do Valor Intermediário e depois usar esse teorema para mostrar que a equação 2x^4-6x^3+x^2-3x-4=0 tem ao menos uma raiz real. O conteúdo envolve continuidade de funções (polinômios) e o Teorema do Valor Intermediário para encontrar mudança de sinal.

Passo 2

O Teorema do Valor Intermediário afirma que se uma função f é contínua no intervalo [a,b] e um valor L está entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um c em [a,b] tal que f(c)=L. Em particular, se f(a) e f(b) tiverem sinais opostos (ou seja, f(a)cdot f(b)<0), existe cin(a,b) com f(c)=0.

Passo 3

Definimos f(x)=2x^4-6x^3+x^2-3x-4. Como f é um polinômio, sabemos que f é contínua em todo R. Então podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário em qualquer intervalo.

Passo 4

Calculamos f(-1) e f(0):
f(-1)=2cdot(-1)^4-6cdot(-1)^3+(-1)^2-3(-1)-4=2+6+1+3-4=8>0,
f(0)=-4<0
Como f(-1)cdot f(0)=8times(-4)<0, há mudança de sinal entre x=-1 e x=0.

Passo 5

Pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário num intervalo onde f(-1)>0 e f(0)<0, concluímos que existe cin(-1,0) tal que f(c)=0. Portanto, a equação tem pelo menos uma solução real.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz real cin(-1,0) tal que 2c^4-6c^3+c^2-3c-4=0.

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