Neste problema você é guiado no início da prova da proposição:
Se as funções f e
forem analíticas em um ponto
e
e
, mas
, então
.
Prova Iniciamos com a hipótese de que
e
sejam analíticas em um ponto
. Analiticidade em
implica em
e
serem diferenciáveis em
. Portanto, de (12), os dois limites
existem. Contudo, como
e
, os limites são iguais a
Agora, analise
e complete a prova.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se as funções f e g são analíticas em z₀ com f(z₀)=0, g(z₀)=0 e g′(z₀)≠0, então
. Vamos usar a definição de derivada e as propriedades de limite em funções complexas.
Passo 2
Como f e g são analíticas em z₀, elas são diferenciáveis ali. Logo temos
Mas como f(z₀)=0 e g(z₀)=0, simplificamos essas expressões para
Passo 3
Agora analisamos o limite que queremos:
Passo 4
Pela propriedade de quociente de limites (já que g′(z₀)≠0, o limite no denominador é não-nulo), obtemos
Passo 5
Isso conclui a prova do resultado desejado.