Neste problema você é guiado no início da prova da proposição:
Se as funções f e g forem analíticas em um ponto z0 e f e g, mas z0, então z0.
Prova Iniciamos com a hipótese de que f e g sejam analíticas em um ponto z0. Analiticidade em f^prime(z0)=lim z z0 f(z)-f(z0)z-z0 e g^prime(z0)=lim z z0 g(z)-g(z0)z-z0 implica em f^prime(z0)=lim z z0 f(z)z-z0 e g^prime(z0)=lim z z0 g(z)z-z0 e lim z z0 f(z)g(z) serem diferenciáveis em . Portanto, de (12), os dois limites
existem. Contudo, como e , os limites são iguais a
Agora, analise e complete a prova.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se as funções f e g são analíticas em z₀ com f(z₀)=0, g(z₀)=0 e g′(z₀)≠0, então limzto z0f(z)g(z)=f(z0)g(z0). Vamos usar a definição de derivada e as propriedades de limite em funções complexas.

Passo 2

Como f e g são analíticas em z₀, elas são diferenciáveis ali. Logo temos
f(z0)=limzto z0f(z)-f(z0)z-z0e g(z0)=limzto z0g(z)-g(z0)z-z0
Mas como f(z₀)=0 e g(z₀)=0, simplificamos essas expressões para
f(z0)=limzto z0f(z)z-z0e g(z0)=limzto z0g(z)z-z0

Passo 3

Agora analisamos o limite que queremos:
limzto z0f(z)g(z)=limzto z0f(z)/(z-z0)g(z)/(z-z0)

Passo 4

Pela propriedade de quociente de limites (já que g′(z₀)≠0, o limite no denominador é não-nulo), obtemos
limzto z0f(z)g(z)=limzto z0f(z)z-z0limzto z0g(z)z-z0=f(z0)g(z0)

Passo 5

Isso conclui a prova do resultado desejado.

Resposta

limzto z0f(z)g(z)=f(z0)g(z0).

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