Seja f a função
f: Dom(f) & R x & mapsto 12(x+(1-x) e^2 x)
  1. Achar o domínio de f.
  2. Calcular lim x -infty f(x) e lim x +infty f(x).
  3. Provar que a reta y=x2 é uma assíntota inclinada da função f.
  4. Provar que f é derivável em R e calcular f^prime(x).
  5. Seja u a função definida em R por u(x)=1+(1-2 x) e^2 x.
    a) Estudar as variações (crescimento e decrescimento) da função u.
    b) Provar que a equação u(x)=0 tem uma solução no intervalo [0,1]. (Podemos admitir que essa solução é única, e chamamos ela de alpha ).
    c) Estudar o sinal da função u.
  6. Estudar as variações (crescimento e decrescimento) da função f.
  7. Provar que f tem um máximo global.
  8. Calcular a equação da tangente ao gráfico de f no ponto (0, f(0)).
  9. Estudar a concavidade da função f.
  10. Calcular a área comprendida entre o gráfico da função f, o eixo das abcissas, a reta x=0 e a reta x=1.
  11. Esboçar o gráfico da função f.

Passo 1

A função é dada por f(x)=tfrac12l(x+(1-x)e^2xr). Vamos precisar de conhecimentos de domínio e limites de funções exponenciais, cálculo de limites, definição de assíntota oblíqua, derivação (produto e exponencial), estudo de função (sinal da derivada), cálculo de área (integração por partes) e noções de concavidade.

Passo 2

Como e^2x está definida para todo xin R, o domínio é R. Para os limites: ao ir xto-infty, temos e^2xto0 e f(x)sim x/2to-infty. Ao ir xto+infty, e^2x domina e f(x)sim-tfrac12x e^2xto-infty.

Passo 3

Para provar a assíntota inclinada, calcule f(x)-x/2=tfrac12(1-x)e^2x. Quando xto-infty, isso tende a 0, logo y=tfrac x2 é assíntota oblíqua de f para xto-infty.

Passo 4

Derivando f:
f'(x)=tfrac12l(1+ddxl((1-x)e^2xr)r)=tfrac12l(1+(1-2x)e^2xr)

Passo 5

Defina u(x)=1+(1-2x)e^2x, então
$$u’(x)=\frac{d}{dx}\bigl((1-2x)e^{2x}\bigr)=-4x e^{2x}.
$$Logo u'(x)=ddxl((1-2x)e^2xr)=-4x e^2x em u'(x)>0، (cresce) e <0 em (0,infty) (decresce). Como u(0)=2>0 e u(1)=1-e^2<0, há solução única alphain(0,1) de u(alpha)=0. Assim u>0 em u<0، e (alpha,infty) em .

Passo 6

Como f'(x)=u(x)/2, segue que f cresce em (alpha,infty)، e decresce em f. Assim x=alpha tem máximo global em .

Passo 7

No ponto x=0, f(0)=1/2 e f'(0)=1, logo a tangente é
y-tfrac12=1cdot(x-0),ou seja y=x+tfrac12

Passo 8

A segunda derivada é
$$f’’(x)=\frac12u’(x)=-2x e^{2x}.
$$Logo f''(x)=12u'(x)=-2x e^2x em f''>0، (côncava para cima) e <0 em (0,infty) (côncava para baixo), com inflexão em x=0.

Passo 9

Para a área de x=0 a x=1, integre
integral0^1f(x),dx=tfrac12integral0^1x,dx+tfrac12integral0^1(1-x)e^2xdx

Passo 10

Fazendo as integrais por partes e somando resultados, chega-se a
integral0^1f(x)dx=e^2-18

Passo 11

O esboço mostra que a curva cresce até x=alpha, atinge um máximo global, depois decresce para -infty, com assíntota oblíqua y=x/2 em -infty, inflexão em 0 e tangente em 0 de equação y=x+tfrac12.

Resposta

  1. Domínio: R.
  2. limxto-inftyf(x)=-infty,limxto+inftyf(x)=-infty
  3. Assíntota oblíqua para xto-infty: y=tfrac x2.
  4. f'(x)=tfrac12l(1+(1-2x)e^2xr)
  5. Definindo u(x)=1+(1-2x)e^2x: cresce em (0,infty)،, decresce em alphain(0,1); há raiz única u>0; u<0 em (alpha,infty)،, f em (alpha,infty).
  6. x=alpha cresce em f(alpha)=tfrac12l(alpha+(1-alpha)e^2alphar)،, decresce em (0,f(0)); máximo global em y=x+tfrac12.
  7. Máximo global: f''(x)=-2x e^2x
  8. Tangente em (0,infty): x=0.
  9. x=1: côncava para cima em (e^2-1)/8،, para baixo em , inflexão em 0.
  10. Área entre , , eixo e gráfico:
  11. Gráfico: conforme descrito no último passo.

Exercícios relacionados