Seja
a função
- Achar o domínio de
.
- Calcular
e
.
- Provar que a reta
é uma assíntota inclinada da função
.
- Provar que
é derivável em
e calcular
.
- Seja
a função definida em
por
.
a) Estudar as variações (crescimento e decrescimento) da função
.
b) Provar que a equação
tem uma solução no intervalo
. (Podemos admitir que essa solução é única, e chamamos ela de
).
c) Estudar o sinal da função
.
- Estudar as variações (crescimento e decrescimento) da função
.
- Provar que
tem um máximo global.
- Calcular a equação da tangente ao gráfico de
no ponto
.
- Estudar a concavidade da função
.
- Calcular a área comprendida entre o gráfico da função
, o eixo das abcissas, a reta
e a reta
.
- Esboçar o gráfico da função
.
a) Estudar as variações (crescimento e decrescimento) da função
b) Provar que a equação
c) Estudar o sinal da função
Passo 1
A função é dada por
. Vamos precisar de conhecimentos de domínio e limites de funções exponenciais, cálculo de limites, definição de assíntota oblíqua, derivação (produto e exponencial), estudo de função (sinal da derivada), cálculo de área (integração por partes) e noções de concavidade.
Passo 2
Como
está definida para todo
, o domínio é
. Para os limites: ao ir
, temos
e
. Ao ir
,
domina e
.
Passo 3
Para provar a assíntota inclinada, calcule
. Quando
, isso tende a 0, logo
é assíntota oblíqua de
para
.
Passo 4
Derivando
:
Passo 5
Defina
, então
$$u’(x)=\frac{d}{dx}\bigl((1-2x)e^{2x}\bigr)=-4x e^{2x}.
$$Logo
em
(cresce) e
em
(decresce). Como
e
, há solução única
de
. Assim
em
e
em
.
Passo 6
Como
, segue que
cresce em
e decresce em
. Assim
tem máximo global em
.
Passo 7
No ponto
,
e
, logo a tangente é
Passo 8
A segunda derivada é
$$f’’(x)=\frac12u’(x)=-2x e^{2x}.
$$Logo
em
(côncava para cima) e
em
(côncava para baixo), com inflexão em
.
Passo 9
Para a área de
a
, integre
Passo 10
Fazendo as integrais por partes e somando resultados, chega-se a
Passo 11
O esboço mostra que a curva cresce até
, atinge um máximo global, depois decresce para
, com assíntota oblíqua
em
, inflexão em 0 e tangente em 0 de equação
.
Resposta
- Domínio:
. -
- Assíntota oblíqua para
: . -
- Definindo
: cresce em , decresce em ; há raiz única ; em , em . -
cresce em , decresce em ; máximo global em . - Máximo global:
- Tangente em
: . -
: côncava para cima em , para baixo em , inflexão em 0. - Área entre
, , eixo e gráfico: - Gráfico: conforme descrito no último passo.