Neste problema você é guiado no início da prova da regra para o produto.
Prova Iniciamos com a hipótese de que
e
sejam diferenciáveis em um ponto
; ou seja, cada um dos seguintes limites existe:
(a) Justifique a igualdade
(b) Use a Definição 2.6.2 para justificar
.
© Use os Teoremas 2.6.2(ii) e 2.6.2(iii) para completar a prova.
© Use os Teoremas 2.6.2(ii) e 2.6.2(iii) para completar a prova.
Passo 1
Queremos provar a regra do produto de derivadas, ou seja, mostrar que
Partimos da definição de derivada de cada função em um ponto e vamos usar também o fato de que toda função diferenciável é contínua (Definição 2.6.2) e os teoremas de limites sobre soma e produto (Teoremas 2.6.2(ii) e (iii)).
Passo 2
Para justificar a igualdade em (a), começamos com o quociente da definição de derivada do produto e somamos e subtraímos o termo adequado no numerador: dividindo e agrupando, temos
Isso prova a igualdade pedida em (a).
Passo 3
Para (b), como g é diferenciável em z, pela Definição 2.6.2 ela é contínua em z. Logo
Passo 4
Em ©, aplicamos primeiro o Teorema 2.6.2(ii) (limite da soma é soma dos limites) e o Teorema 2.6.2(iii) (limite do produto é produto dos limites). Então
e
Somando esses resultados, concluímos a prova da regra do produto.