Neste problema você é guiado no início da prova da regra para o produto.
Prova Iniciamos com a hipótese de que f e g sejam diferenciáveis em um ponto z; ou seja, cada um dos seguintes limites existe:
f^prime(z)=lim De
(a) Justifique a igualdade
dd z[f(z) g(z)] & =lim De
(b) Use a Definição 2.6.2 para justificar lim De.
© Use os Teoremas 2.6.2(ii) e 2.6.2(iii) para completar a prova.

Passo 1

Queremos provar a regra do produto de derivadas, ou seja, mostrar que
ddz[f(z)g(z)] = f'(z)g(z) + f(z)g'(z)
Partimos da definição de derivada de cada função em um ponto e vamos usar também o fato de que toda função diferenciável é contínua (Definição 2.6.2) e os teoremas de limites sobre soma e produto (Teoremas 2.6.2(ii) e (iii)).

Passo 2

Para justificar a igualdade em (a), começamos com o quociente da definição de derivada do produto e somamos e subtraímos o termo adequado no numerador: dividindo e agrupando, temos
&f(z+De
Isso prova a igualdade pedida em (a).

Passo 3

Para (b), como g é diferenciável em z, pela Definição 2.6.2 ela é contínua em z. Logo
limDe

Passo 4

Em ©, aplicamos primeiro o Teorema 2.6.2(ii) (limite da soma é soma dos limites) e o Teorema 2.6.2(iii) (limite do produto é produto dos limites). Então
limDe
e
limDe
Somando esses resultados, concluímos a prova da regra do produto.

Passo 5

Resposta

ddz[f(z)g(z)] = f'(z)g(z) + f(z)g'(z)

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