Nestes exercícios, os traços das superfícies nos planos são seções cônicas. Em cada parte, obtenha uma equação do traço e afirme se é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies e pede o traço (interseção) entre elas, além de classificar a curva obtida. Informações dadas:
- A superfície
definida por . - O plano
definido por .
O que se pede: - Obter a equação do traço
. - Dizer se essa equação representa uma elipse, parábola ou hipérbole.
Passo 2
Entendendo o que é o traço: o traço entre a superfície
e o plano
é o conjunto de pontos
que satisfazem simultaneamente as duas equações. Para encontrá-lo, igualo as duas expressões para
:
Essa é a equação no plano
que descreve o traço.
Passo 3
Agora vamos identificar que tipo de seção cônica é essa curva. Uma forma simples é reconhecer os coeficientes na equação quadrática geral em
e
:
Aqui temos
,
,
e nenhum termo linear em
ou
. O discriminante que classifica a cônica é
Substituindo:
Quando
e a equação é não degenerada, a curva é uma hipérbole.
Passo 4
Para ver a forma padrão e algumas características, escrevo a equação dividindo por
:
Essa é a forma canônica de uma hipérbole com centro em
no plano
. Aqui
(logo
) e
(logo
).
Passo 5
Algumas propriedades úteis (úteis na prova ou para desenhar rápido):
- Centro:
. - Vértices:
. - Assíntotas: para a hipérbole da forma
, as assíntotas são . Aqui,
Essas informações ajudam a reconhecer e justificar a classificação na hora da prova.
Passo 6
Resumo do procedimento que você pode usar em outros exercícios semelhantes:
- Igualar as expressões de
para obter a equação em . - Colocar a equação na forma geral quadrática e calcular
. - Se
⇒ hipérbole; ⇒ parábola; ⇒ elipse (ou círculo, caso especial). - Se possível, reescrever na forma canônica para identificar centro, vértices e assíntotas.