Nestes exercícios, os traços das superfícies nos planos são seções cônicas. Em cada parte, obtenha uma equação do traço e afirme se é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
z=x^{2}-4 y^{2} ; z=4

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies e pede o traço (interseção) entre elas, além de classificar a curva obtida. Informações dadas:
  • A superfície S definida por z = x^{2} - 4y^{2}.
  • O plano P definido por z = 4.
    O que se pede:
  • Obter a equação do traço S\cap P.
  • Dizer se essa equação representa uma elipse, parábola ou hipérbole.

Passo 2

Entendendo o que é o traço: o traço entre a superfície S e o plano P é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as duas equações. Para encontrá-lo, igualo as duas expressões para z:
x^{2}-4y^{2}=4.
Essa é a equação no plano (x,y) que descreve o traço.

Passo 3

Agora vamos identificar que tipo de seção cônica é essa curva. Uma forma simples é reconhecer os coeficientes na equação quadrática geral em x e y:
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.
Aqui temos A=1, B=0, C=-4 e nenhum termo linear em x ou y. O discriminante que classifica a cônica é
\Delta = B^{2}-4AC.
Substituindo:
\Delta = 0^{2}-4\cdot 1\cdot(-4)=16>0.
Quando \Delta>0 e a equação é não degenerada, a curva é uma hipérbole.

Passo 4

Para ver a forma padrão e algumas características, escrevo a equação dividindo por 4:
\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1.
Essa é a forma canônica de uma hipérbole com centro em (0,0) no plano xy. Aqui a^{2}=4 (logo a=2) e b^{2}=1 (logo b=1).

Passo 5

Algumas propriedades úteis (úteis na prova ou para desenhar rápido):
  • Centro: (0,0).
  • Vértices: (\pm a,0)=(\pm 2,0).
  • Assíntotas: para a hipérbole da forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, as assíntotas são y=\pm \dfrac{b}{a}x. Aqui,
y=\pm \frac{1}{2}x.
Essas informações ajudam a reconhecer e justificar a classificação na hora da prova.

Passo 6

Resumo do procedimento que você pode usar em outros exercícios semelhantes:
  • Igualar as expressões de z para obter a equação em x,y.
  • Colocar a equação na forma geral quadrática e calcular \Delta=B^{2}-4AC.
  • Se \Delta>0 ⇒ hipérbole; \Delta=0 ⇒ parábola; \Delta<0 ⇒ elipse (ou círculo, caso especial).
  • Se possível, reescrever na forma canônica para identificar centro, vértices e assíntotas.

Resposta

\;x^{2}-4y^{2}=4 — hipérbole

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