(2 pontos) Calcule o volume da calota esférica (x, y, z): x^2+ y^2+z^2 <= R^2, z >= a onde 0 <= a <= R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de uma calota esférica definida por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2} $ e $ z \geq a $, onde $ 0 \leq a \leq R $. Isso faz parte da matéria de Geometria Espacial, mais especificamente sobre esferas e calotas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender a fórmula do volume de uma calota esférica e aplicar alguns conceitos de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine uma esfera de raio $ R $ centrada na origem. A condição $ z \geq a $ define uma “fatia” superior dessa esfera, chamada de calota esférica. Nosso objetivo é encontrar o volume dessa calota.

Passo 3

A fórmula do volume $ V $ de uma calota esférica é dada por:
V
onde $ h $ é a altura da calota, ou seja, a distância de $ z = a $ até o ponto mais alto da esfera ($ z = R $). Portanto, $ h = R - a $.

Passo 4

Vamos substituir $ h = R - a $ na fórmula do volume:
h = R - a

Passo 5

Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
3R - (R - a) = 3R - R + a = 2R + a
Então, a fórmula fica:
V = pi (R - a)^2 (2R + a)3

Passo 6

Agora, vamos desenvolver o termo $ (R - a)^{2} $:
(R - a)^2
Substituindo de volta na fórmula do volume:
(R - a)^2 = R^2 - 2Ra + a^2

Passo 7

Multiplicando os termos dentro do parênteses:
(R^2 - 2Ra + a^2)(2R + a) = 2R^3 + R^2a - 4R^2a - 2Ra^2 + 2Ra^2 + a^3 = 2R^3 - 3R^2a + a^3
Portanto:
V = pi (2R^3 - 3R^2a + a^3)3

Passo 8

Finalmente, podemos deixar o volume expressado de forma simplificada:
V = pi3 (2R^3 - 3R^2a + a^3)

Resposta

O volume da calota esférica é dado por:
V = pi3 (2R^3 - 3R^2a + a^3)

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