(2 pontos) Calcule o volume da calota esférica
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de uma calota esférica definida por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2} $ e $ z \geq a $, onde $ 0 \leq a \leq R $. Isso faz parte da matéria de Geometria Espacial, mais especificamente sobre esferas e calotas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender a fórmula do volume de uma calota esférica e aplicar alguns conceitos de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine uma esfera de raio $ R $ centrada na origem. A condição $ z \geq a $ define uma “fatia” superior dessa esfera, chamada de calota esférica. Nosso objetivo é encontrar o volume dessa calota.
Passo 3
A fórmula do volume $ V $ de uma calota esférica é dada por:
onde $ h $ é a altura da calota, ou seja, a distância de $ z = a $ até o ponto mais alto da esfera ($ z = R $). Portanto, $ h = R - a $.
Passo 4
Vamos substituir $ h = R - a $ na fórmula do volume:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Então, a fórmula fica:
Passo 6
Agora, vamos desenvolver o termo $ (R - a)^{2} $:
Substituindo de volta na fórmula do volume:
Passo 7
Multiplicando os termos dentro do parênteses:
Portanto:
Passo 8
Finalmente, podemos deixar o volume expressado de forma simplificada:
Resposta
O volume da calota esférica é dado por: