Seja C a parte da interseção do cilindro parabólico y=x^2 com o plano y+z=1 de (1,1,0) até (-1,1,0). O valor da integral de linha integralC x d x+(z-2 x) d y+(z-1) d z é:
Escolha uma opção
  • 13
  • -2
  • -74
  • 83
  • 52

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC x,dx + (z - 2x),dy + (z - 1),dz sobre a curva C definida pela interseção do cilindro parabólico y = x^2 com o plano y + z = 1, indo do ponto (1,1,0) até (-1,1,0). O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial e vamos precisar parametrizar essa curva.

Passo 2

Parametrizamos C escolhendo x = t e y = t^2. Como y + z = 1, segue z = 1 - t^2. O ponto inicial (1,1,0) corresponde a t = 1 e o ponto final (-1,1,0) a t = -1, então t varia de 1 até -1.

Passo 3

Calculamos as diferenciais: dx = dt, dy = 2t,dt e dz = -2t,dt. Substituindo na integral obtemos
x,dx = t,dt,
(z - 2x),dy = (1 - t^2 - 2t)cdot(2t,dt),
(z - 1),dz = ((1 - t^2) - 1)cdot(-2t,dt) = 2t^3,dt.

Passo 4

Somando tudo o integrando vira
t + 2t(1 - t^2 - 2t) + 2t^3 = 3t - 4t^2

Passo 5

Portanto a integral é
integralt=1^-1(3t - 4t^2),dt

Passo 6

Calculando,
l[tfrac32t^2 - tfrac43t^3r]1^-1 = l(tfrac32 + tfrac43r) - l(tfrac32 - tfrac43r) = tfrac83

Resposta

tfrac83

Exercícios relacionados