Resolva as questões abaixo.
Determine a derivada direcional de f(x, y, z)=x^2-y z+z^2 x no ponto P(1,-4,3), na direção do vetor (2,-1,8). Qual a taxa de crescimento de f em P .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional da função f(x, y, z) = x^2 - y z + z^2 x no ponto P(1, -4, 3) , na direção do vetor v = (2, -1, 8) . Além disso, queremos saber qual é a taxa de crescimento de f nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional e calcular o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função f . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = 2x + z^2
  1. Derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = -z
  1. Derivada parcial em relação a z :
partial fpartial z = -y + 2zx

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto P(1, -4, 3) :
  1. Para partial fpartial x :
2(1) + (3)^2 = 2 + 9 = 11
  1. Para partial fpartial y :
-3
  1. Para partial fpartial z :
-(-4) + 2(3)(1) = 4 + 6 = 10
Então, o gradiente de f em P é:
nabla f(P) = (11, -3, 10)

Passo 4

Agora, precisamos normalizar o vetor de direção v = (2, -1, 8) para transformá-lo em um vetor unitário. A fórmula para normalizar é dividir cada componente pelo módulo do vetor.
Primeiro, calculamos o módulo de v :
|v| = raiz2^2 + (-1)^2 + 8^2 = raiz4 + 1 + 64 = raiz69
Então, o vetor unitário u na direção de v é:
u = ( 2raiz69, -1raiz69, 8raiz69 )

Passo 5

A derivada direcional Duf é o produto escalar entre o gradiente de f em P e o vetor unitário u . Ou seja,
Duf = nabla f(P) cdot u = (11, -3, 10) cdot ( 2raiz69, -1raiz69, 8raiz69 )
Vamos calcular o produto escalar:
Duf = 11 cdot 2raiz69 + (-3) cdot -1raiz69 + 10 cdot 8raiz69 = 22 + 3 + 80raiz69 = 105raiz69

Resposta

A derivada direcional de f no ponto P(1, -4, 3) na direção do vetor (2, -1, 8) é 105raiz69 e a taxa de crescimento de f em P nessa direção é aproximadamente 12,63.

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