Resolva as questões abaixo.
Determine a derivada direcional de
no ponto
, na direção do vetor
. Qual a taxa de crescimento de f em P .
Determine a derivada direcional de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional da função
no ponto
, na direção do vetor
. Além disso, queremos saber qual é a taxa de crescimento de
nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional e calcular o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, o gradiente de
em
é:
Passo 4
Agora, precisamos normalizar o vetor de direção
para transformá-lo em um vetor unitário. A fórmula para normalizar é dividir cada componente pelo módulo do vetor.
Primeiro, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 5
A derivada direcional
é o produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor unitário
. Ou seja,
Vamos calcular o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é
e a taxa de crescimento de
em
nessa direção é aproximadamente 12,63.