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Determina a matriz A de uma transformação linear T: R^3 R^3 (matriz da transformação relativa à base canônica) que leva o plano pi: x-y+2 z=0 na reta r:(x, y, z)=t(2,1,0) e tal que A tenha posto 2 .

Passo 1

O enunciado pede uma matriz A de uma transformação linear T:R^3toR^3 que satisfaz dois requisitos:
  1. Para todo v no plano pi:;x - y + 2z=0, T(v) pertence à reta r=t(2,1,0)mid tinR.
  2. A matriz A deve ter posto 2.
    Para resolver, vamos escolher uma base conveniente de R^3 que enfatize o plano pi e depois expressar T na base canônica.

Passo 2

Escolho vetores geradores de pi e um vetor fora de pi:
v1=(1,1,0), v2=(2,0,-1)
são linearly independentes e satisfazem x-y+2z=0.
Escolho também
w=(1,0,0),
que não pertence a pi (pois 1-0+2cdot0=1neq0).
Para garantir T(pi)subset r, defino
T(v1)=(2,1,0), T(v2)=(0,0,0),
pois (2,1,0) gera a reta r.

Passo 3

Para ter posto 2, escolho T(w) fora de r. Por exemplo
T(w)=(0,0,1)
Agora expressamos v1 e v2 em função da base canônica e1,e2,e3:
v1=e1+e2, v2=2e1 - e3, w=e1
Das definições de T obtemos:
T(e1)=T(w)=(0,0,1),
T(e1+e2)=T(v1)=(2,1,0)implies T(e2)=(2,1,0)-T(e1)=(2,1,-1),
T(2e1-e3)=T(v2)=(0,0,0)implies T(e3)=2,T(e1)=(0,0,2)

Passo 4

A matriz A na base canônica tem colunas T(e1),T(e2),T(e3). Logo
A = 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0 1 & -1 & 2
Verificações:
  1. Se vinpi, então v=y,v1+z,v2 e T(v)=y,(2,1,0)+z,(0,0,0)=y,(2,1,0)inSpan(2,1,0)=r
  2. As colunas de A são C1=(0,0,1), C2=(2,1,-1) e C3=2C1. Como C1 e C2 são independentes, rank(A)=2.

Resposta

A= 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0 1 & -1 & 2

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