Seja V=M2(R), considere os conjunto W1=A in M2(R): A=A^t e W2=B in M2(R): B=-B^t.
Determine uma base para cada um desses subespaços.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=M2(R) e dois subespaços:
W1=Ain M2(R):A=A^t, W2=Bin M2(R):B=-B^t
Precisamos usar o conceito de forma geral de matrizes simétricas e antissimétricas, identificar os parâmetros livres e extrair a base.

Passo 2

Para W1 impomos A=A^t. Escrevendo
A=a & b c & d,
a condição A=A^t exige b=c. Logo
A=a & b b & d
tem três parâmetros livres a,b,d. Podemos então escrever
A = a1 & 00 & 0 + b0 & 11 & 0 + d0 & 00 & 1,
o que mostra que dim W1=3 e sugere a base natural.

Passo 3

Para W2 impomos B=-B^t. Escrevendo
B=x & y z & w,
a condição B=-B^t x=0, w=0, y=-z. Assim
B=0 & y -y & 0 = y0 & 1-1 & 0
Só há um parâmetro livre y, logo dim W2=1 e a base tem um único vetor.

Resposta

A base de W1 é
1 & 00 & 0,, 0 & 11 & 0,, 0 & 00 & 1
A base de W2 é
0 & 1-1 & 0

Exercícios relacionados