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Seja V=(x, y, z, t) in R^4, x-y=z-t um subespaço do R^4. Determine, usando o processo de Gram-Schmidt, uma base ortogonal de V de forma que o primeiro vetor dessa base seja v1=(1,1,1,1).

Passo 1

Estamos trabalhando no subespaço
V=(x,y,z,t)inR^4mid x-y=z-t,
que é um hiperplano de dimensão 3. O enunciado nos dá o primeiro vetor da base ortogonal como
vec v1=(1,1,1,1),
e pede que, usando o processo de Gram–Schmidt, encontremos dois vetores adicionais em V que completam uma base ortogonal cujo primeiro vetor seja vec v1.

Passo 2

Para gerar V, note que a condição x-y=z-t permite escrever
(x,y,z,t)=(y+z-t,;y,;z,;t) =y,(1,1,0,0)+z,(1,0,1,0)+t,(-1,0,0,1)
Uma base natural de V é, por exemplo,
b1=(1,1,0,0), b2=(1,0,1,0), b3=(-1,0,0,1)
Como já fixamos vec v1=(1,1,1,1)=b1+b2+b3, escolhemos para iniciar o Gram–Schmidt:
vec v1=(1,1,1,1), vec v2=b1=(1,1,0,0), vec v3=b2=(1,0,1,0)

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt para achar vec u2 ortogonal a vec u1=vec v1:
vec u2 =vec v2-lang<= vec v2,vec u1rang<=lang<= vec u1,vec u1rang<=,vec u1
Calculamos
lang<= vec v2,vec u1rang<==(1,1,0,0)cdot(1,1,1,1)=2
e
lang<= vec u1,vec u1rang<==4.
Logo
vec u2 =(1,1,0,0)-24(1,1,1,1) =(1,1,0,0)-tfrac12(1,1,1,1) =(tfrac12,tfrac12,-tfrac12,-tfrac12)
Podemos escalar para ficar inteiro:
vec u2'=(1,1,-1,-1)

Passo 4

Agora buscamos vec u3 ortogonal a vec u1 e vec u2:
vec u3 =vec v3 -lang<= vec v3,vec u1rang<=lang<= vec u1,vec u1rang<=,vec u1 -lang<= vec v3,vec u2'rang<=lang<= vec u2',vec u2'rang<=,vec u2'
Calculamos
lang<= vec v3,vec u1rang<==(1,0,1,0)cdot(1,1,1,1)=2,
lang<= vec u1,vec u1rang<==4,
lang<= vec v3,vec u2'rang<==(1,0,1,0)cdot(1,1,-1,-1)=1-1=0.
Então
vec u3 =(1,0,1,0)-tfrac12(1,1,1,1) =(tfrac12,-tfrac12,tfrac12,-tfrac12),
e, escalando para inteiros, podemos tomar
vec u3'=(1,-1,1,-1)
Verifica-se que
vec u1perpvec u2',
vec u1perpvec u3' e
vec u2'perpvec u3'.

Resposta

Uma base ortogonal de V com primeiro vetor (1,1,1,1) é
(1,1,1,1), (1,1,-1,-1), (1,-1,1,-1)

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