Nome Legível:
JUSTIFIQUE TODAS AS RESPOSTAS!!!
Seja
um subespaço do
. Determine, usando o processo de Gram-Schmidt, uma base ortogonal de
de forma que o primeiro vetor dessa base seja
.
JUSTIFIQUE TODAS AS RESPOSTAS!!!
Seja
Passo 1
Estamos trabalhando no subespaço
que é um hiperplano de dimensão 3. O enunciado nos dá o primeiro vetor da base ortogonal como
e pede que, usando o processo de Gram–Schmidt, encontremos dois vetores adicionais em
que completam uma base ortogonal cujo primeiro vetor seja
.
Passo 2
Para gerar
, note que a condição
permite escrever
Uma base natural de
é, por exemplo,
Como já fixamos
, escolhemos para iniciar o Gram–Schmidt:
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt para achar
ortogonal a
:
Calculamos
e
.
Logo
e
Logo
Podemos escalar para ficar inteiro:
Passo 4
Agora buscamos
ortogonal a
e
:
Calculamos
,
,
.
Então
Então
e, escalando para inteiros, podemos tomar
Verifica-se que
,
e
.
Resposta
Uma base ortogonal de
com primeiro vetor
é