Seja V=M2(R), considere os conjunto W1=A in M2(R): A=A^t e W2=B in M2(R): B=-B^t.
Encontre W1 cap W2 e W1+W2.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V = M2(R) de todas as matrizes 2times2 reais e define dois subespaços:
W1 = Ain M2(R) : A = A^t, o espaço das matrizes simétricas, e
W2 = Bin M2(R) : B = -B^t, o espaço das matrizes antissimétricas.
Queremos encontrar (i) a interseção W1cap W2 e (ii) a soma W1+W2.

Passo 2

Para achar W1cap W2, precisamos de todas as matrizes M que sejam ao mesmo tempo simétricas e antissimétricas. Se Min W1cap W2 então
M = M^t e M = -,M^t
Combinando, vêm M = -M, ou seja, 2M = 0, logo
M = 0
Portanto,
W1cap W2 = 0

Passo 3

Para mostrar que , basta observar que toda matriz genérica
pode ser escrita como soma de uma parte simétrica e de uma parte antissimétrica:
Como qualquer admite essa decomposição, concluímos que

Resposta

;W1cap W2 = 0
;W1+W2 = M2(R)

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