O enunciado nos dá o espaço vetorial de todas as matrizes reais e define dois subespaços: , o espaço das matrizes simétricas, e , o espaço das matrizes antissimétricas.
Queremos encontrar (i) a interseção e (ii) a soma .
Passo 2
Para achar , precisamos de todas as matrizes que sejam ao mesmo tempo simétricas e antissimétricas. Se então
Combinando, vêm , ou seja, , logo
Portanto,
Passo 3
Para mostrar que , basta observar que toda matriz genérica
pode ser escrita como soma de uma parte simétrica e de uma parte antissimétrica:
Como qualquer admite essa decomposição, concluímos que