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JUSTIFIQUE TODAS AS RESPOSTAS!!!
Seja T: R^4 R^4 a transformação linear dada por T(x, y, z, t)=(-x+3 t, x-y,-z, 2 t).
Determine a matriz canônica A de T e encontre todos os autovetores de A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de transformações lineares no espaço R^4. Especificamente, temos uma transformação linear T: R^4 R^4 definida por T(x, y, z, t) = (-x + 3t,, x - y,, -z,, 2t). Nosso objetivo é:
  1. Determinar a matriz canônica A dessa transformação.
  2. Encontrar todos os autovetores dessa matriz A.
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma transformação linear por uma matriz e como encontrar os autovetores de uma matriz, que são vetores não nulos que, quando multiplicados pela matriz, resultam em um múltiplo do próprio vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz canônica A da transformação T.
A matriz canônica de uma transformação linear é composta pelas imagens dos vetores da base canônica através de T. No caso de R^4, a base canônica é formada pelos vetores:
e1 = (1,, 0,, 0,, 0), e2 = (0,, 1,, 0,, 0), e3 = (0,, 0,, 1,, 0), e4 = (0,, 0,, 0,, 1)
Vamos calcular T(e1), T(e2), T(e3) e T(e4):
  1. T(e1) = T(1,, 0,, 0,, 0) = (-1 + 3 cdot 0,, 1 - 0,, -0,, 2 cdot 0) = (-1,, 1,, 0,, 0)
  2. T(e2) = T(0,, 1,, 0,, 0) = (-0 + 3 cdot 0,, 0 - 1,, -0,, 2 cdot 0) = (0,, -1,, 0,, 0)
  3. T(e3) = T(0,, 0,, 1,, 0) = (-0 + 3 cdot 0,, 0 - 0,, -1,, 2 cdot 0) = (0,, 0,, -1,, 0)
  4. T(e4) = T(0,, 0,, 0,, 1) = (-0 + 3 cdot 1,, 0 - 0,, -0,, 2 cdot 1) = (3,, 0,, 0,, 2)
Agora, organizamos essas imagens como colunas na matriz A:
A = -1 & 0 & 0 & 3 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 2

Passo 3

Agora que temos a matriz canônica A, vamos encontrar todos os autovetores dessa matriz. Para isso, precisamos primeiro encontrar os autovalores de A.
Os autovalores lambda são os valores que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade de ordem 4.
Vamos calcular a equação característica de A:
A - lambda I = -1 - lambda & 0 & 0 & 3 1 & -1 - lambda & 0 & 0 0 & 0 & -1 - lambda & 0 0 & 0 & 0 & 2 - lambda
A determinante dessa matriz é:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda) cdot [(-1 - lambda) cdot (-1 - lambda) cdot (2 - lambda)] - 0 + 0 - 3 cdot [1 cdot (-1 - lambda) cdot (2 - lambda) cdot 0] = 0
Simplificando:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda)^2 (-1 - lambda)(2 - lambda) = 0
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = -1, lambda2 = -1, lambda3 = 2
Observamos que lambda = -1 é um autovalor de multiplicidade 2, e lambda = 2 é de multiplicidade 1.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Para [\lambda = -1):

Precisamos resolver , ou seja, .
Calculando :
Agora, resolvemos o sistema homogêneo :
Simplificando, temos:
Isso implica que . As variáveis e são livres, ou seja, podem assumir qualquer valor.
Portanto, os autovetores correspondentes a são da forma:
Ou seja, os autovetores são quaisquer combinações lineares de e .

Para :

Agora, resolvemos .
Calculando :
Resolvendo o sistema :
Simplificando:
Da terceira equação, temos (z = 0].
Da segunda equação, .
Substituindo na primeira equação:
Portanto, as variáveis é livre, e temos:
Assim, os autovetores correspondentes a são múltiplos do vetor .

Resposta

A matriz canônica A da transformação T é:
A = -1 & 0 & 0 & 3 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 2
Os autovetores de A são:
  • Para lambda = -1: Todos os vetores da forma 0 y z 0 , onde y e z são números reais.
  • Para lambda = 2: Todos os vetores da forma 3y y 0 3y , onde y é um número real.
Esses são todos os autovetores da matriz A.

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