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JUSTIFIQUE TODAS AS RESPOSTAS!!!
Seja a transformação linear dada por .
Determine a matriz canônica de e encontre todos os autovetores de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de transformações lineares no espaço . Especificamente, temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é:
Determinar a matriz canônica dessa transformação.
Encontrar todos os autovetores dessa matriz .
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma transformação linear por uma matriz e como encontrar os autovetores de uma matriz, que são vetores não nulos que, quando multiplicados pela matriz, resultam em um múltiplo do próprio vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz canônica da transformação .
A matriz canônica de uma transformação linear é composta pelas imagens dos vetores da base canônica através de . No caso de , a base canônica é formada pelos vetores:
Vamos calcular , , e :
Agora, organizamos essas imagens como colunas na matriz :
Passo 3
Agora que temos a matriz canônica A, vamos encontrar todos os autovetores dessa matriz. Para isso, precisamos primeiro encontrar os autovalores de A.
Os autovalores lambda são os valores que satisfazem a equação característica: