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JUSTIFIQUE TODAS AS RESPOSTAS!!!
Determine os valores de k para que o sistema A x=b tenha a) uma única solução; b) infinitas soluções; e c) nenhuma solução.
A=(cccc 1 & 0 & 3 k & k-1 0 & 1 & 0 & k^2-1 0 & 0 & k & 1 0 & 0 & 0 & k-1 ) b=(c 2 k+1 k+1 k-2 1 )

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado por A x = b , onde A é uma matriz e b é um vetor. O objetivo é determinar os valores de k que fazem o sistema ter:
a) Uma única solução;
b) Infinitas soluções;
c) Nenhuma solução.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de determinante e posto de matrizes, que nos ajudam a saber quantas soluções um sistema linear tem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A . O determinante nos diz se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo da consistência do sistema.
A matriz A dada é uma matriz triangular superior:
A = 1 & 0 & 3k & k-1 0 & 1 & 0 & k^2-1 0 & 0 & k & 1 0 & 0 & 0 & k-1
Para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Então,
det(A) = 1 times 1 times k times (k - 1) = k(k - 1)

Passo 3

Agora, vamos analisar quando o determinante é diferente de zero e quando é igual a zero.
  • Determinante diferente de zero ( k(k - 1) neq 0 ):
    Isso acontece quando k neq 0 e k neq 1 . Nesses casos, a matriz A é invertível, e portanto, o sistema A x = b tem uma única solução.
  • Determinante igual a zero ( k(k - 1) = 0 ):
    Isso ocorre quando k = 0 ou k = 1 . Nessa situação, precisamos verificar se o sistema é consistente (tem solução) ou inconsistente (não tem solução).

Passo 4

Vamos verificar o caso quando k = 0 e k = 1 :
  • Quando k = 0 :
    Substituindo k = 0 na matriz A e no vetor b :
A = 1 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & -1 , b = 1 1 -2 1
Observando a terceira e quarta equações:
0x + 0y + 0z + 1w = -2 (Equação 3) çã
0x + 0y + 0z - 1w = 1 (Equação 4) çã
Da Equação 3, temos w = -2 . Da Equação 4, temos -w = 1 ou seja, w = -1 . Isso gera uma contradição ( -2 neq -1 ), então o sistema é inconsistente e não tem solução quando k = 0 .
  • Quando k = 1 :
    Substituindo k = 1 na matriz A e no vetor b :
A = 1 & 0 & 3 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 , b = 3 2 -1 1
Observando a quarta equação:
0x + 0y + 0z + 0w = 1
Isso é impossível, pois 0 = 1 não é verdadeiro. Portanto, o sistema é inconsistente e não tem solução quando k = 1 .

Resposta

a) O sistema tem uma única solução para todo k tal que k neq 0 e k neq 1 .
b) O sistema não tem infinitas soluções para nenhum valor de k .
c) O sistema não tem solução quando k = 0 ou k = 1 .

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