Seja V=M2(R), considere os conjunto W1=A in M2(R): A=A^t e W2=B in M2(R): B=-B^t.
Mostre que W1 e W2 são subespaços vetoriais de V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que os conjuntos
W1 = Ain M2(R) mid A = A^t e W2 = Bin M2(R) mid B = -,B^t
são subespaços de V = M2(R).
Para isso, vamos usar o critério de subespaço: mostrar que cada um contém a matriz zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação para W1 (matrizes simétricas):
  1. Zero: a matriz zero 0 satisfaz
0^t=0,
logo 0in W1.
2. Soma: se A,A'in W1, então A=A^t e A'=A'^t. Logo
(A + A')^t = A^t + A'^t = A + A',
ou seja, A + A'in W1.
3. Escalar: para lambdainR e Ain W1,
(lambda A)^t = lambda,A^t = lambda A,
portanto lambda Ain W1.
Concluímos que W1 é subespaço de V.

Passo 3

Verificação para W2 (matrizes antissimétricas):
  1. Zero: como antes, 0^t=0 e 0 = -0, então 0in W2.
  2. Soma: se B,B'in W2, então B=-B^t e B'=-B'^t. Logo
(B + B')^t = B^t + B'^t = -B + (-B') = -(B + B'),
ou seja, B + B'in W2.
3. Escalar: para muinR e Bin W2,
(mu B)^t = mu,B^t = mu,(-B) = -(mu B),
logo mu Bin W2.
Concluímos que W2 é subespaço de V.

Resposta

Mostramos que tanto W1 quanto W2 contêm o zero, são fechados sob soma e sob multiplicação por escalar. Portanto, ambos são subespaços vetoriais de M2(R).

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