Seja
, considere os conjunto
e
.
Mostre que
e
são subespaços vetoriais de
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que os conjuntos
são subespaços de
.
Para isso, vamos usar o critério de subespaço: mostrar que cada um contém a matriz zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.
Para isso, vamos usar o critério de subespaço: mostrar que cada um contém a matriz zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificação para
(matrizes simétricas):
- Zero: a matriz zero
satisfaz
logo
.
2. Soma: se , então
e
. Logo
2. Soma: se
ou seja,
.
3. Escalar: para e
,
3. Escalar: para
portanto
.
Concluímos que é subespaço de
.
Concluímos que
Passo 3
Verificação para
(matrizes antissimétricas):
- Zero: como antes,
e , então . - Soma: se
, então e . Logo
ou seja,
.
3. Escalar: para e
,
3. Escalar: para
logo
.
Concluímos que é subespaço de
.
Concluímos que
Resposta
Mostramos que tanto
quanto
contêm o zero, são fechados sob soma e sob multiplicação por escalar. Portanto, ambos são subespaços vetoriais de
.