Nome:
  • É proibido o uso de calculadora.
  • Caso queira utilizar algum teorema que não tenha sido dado em aula, enuncie-o e demonstre-o.
  • Cada um dos itens 3, 4, 5 e 6 é de múltipla escolha e possui exatamente uma resposta correta.
    (0,75) Considere, em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), o produto interno dado por \langle p(t), q(t)\rangle=\int_{0}^{1} p(t) \cdot q(t) d t. Então, \left\langle 5 t^{2}+8 t+1, t^{2}+4\right\rangle é igual a:
    a) 19
    b) 39
    c) 0
    d) 30
    e) 70

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto interno em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) definido por
\langle p(t),q(t)\rangle = \int_{0}^{1} p(t)\,q(t)\,dt
nos polinômios p(t)=5t^{2}+8t+1 e q(t)=t^{2}+4.

Passo 2

Primeiro expandimos o produto dentro da integral:
(5t^{2}+8t+1)(t^{2}+4) =5t^{4}+8t^{3}+20t^{2}+32t+t^{2}+4 =5t^{4}+8t^{3}+21t^{2}+32t+4.

Passo 3

Escrevemos o produto interno como integral de soma e integramos termo a termo:
\langle p,q\rangle =\int_{0}^{1}\bigl(5t^{4}+8t^{3}+21t^{2}+32t+4\bigr)\,dt.
Para cada termo:
\int_{0}^{1}5t^{4}\,dt=1,\quad \int_{0}^{1}8t^{3}\,dt=2,\quad \int_{0}^{1}21t^{2}\,dt=7,\quad \int_{0}^{1}32t\,dt=16,\quad \int_{0}^{1}4\,dt=4.

Passo 4

Somando esses resultados:
1 + 2 + 7 + 16 + 4 = 30.
Logo, \langle 5t^{2}+8t+1,\;t^{2}+4\rangle = 30.

Resposta

d) 30

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