Nome
Questão 5: Utilize coordenadas polares para calcular o volume da região limitada abaixo pelo plano xy e acima pela função f(x, y)=9-y^2-x^2, isto é,
V=integral duplaD(9-y^2-x^2) d A
, onde D=(x, y) mid x^2+y^2 <= 9

Passo 1

O enunciado pede o volume
V = integral duplaDl(9 - x^2 - y^2r),dA,
onde D é o disco (x,y)mid x^2+y^2<=9.
Conteúdo: uso de coordenadas polares para integrar sobre regiões circulares.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
com Jacobiano dA = r,dr,dtheta, e a região D vira
0 <= r <= 3, 0 <= theta <= 2pi

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
V = integral0^2piintegral0^3l(9 - r^2r),r,dr,dtheta = integral0^2piintegral0^3l(9r - r^3r),dr,dtheta

Passo 4

Calcular o integral em r:
integral0^3l(9r - r^3r),dr = [9r^22-r^44]0^3 = 9cdot92-814 = 812-814 = 814

Passo 5

Agora o integral em theta:
V = integral0^2pi814,dtheta = 814cdot2pi = 81pi2

Resposta

V = 81pi2

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