Nome
Questão 8: Calcule as integrais duplas sobre a região dada .
b) integral duplaR sen(x^2+y^2) d A. onde B=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 1 e y >= 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR sinl(x^2+y^2r),dA
sobre a região
R=(x,y)inR^2 mid x^2+y^2<= 1,; y>= 0,
que é a meia-lua (semicírculo superior) de raio 1.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas polares, pois a região é circular e a função depende de x^2+y^2=r^2.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta,
e x^2+y^2=r^2. A região R vira
0<= r<=1, 0<=theta<=pi

Passo 3

A integral fica
integral duplaRsenl(x^2+y^2r),dA =integraltheta=0^piintegralr=0^1senl(r^2r),r,dr,dtheta

Passo 4

Para o integral em r fazemos a substituição
u=r^2, du=2r,dr Longrightarrow r,dr=du2,
com r=0mapsto u=0 e r=1mapsto u=1. Logo,
integral0^1senl(r^2r),r,dr =12integral0^1sen(u),du =12l[-cos(u)r]0^1 =12l(1-cos(1)r)

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^pidtheta=pi,
portanto o valor total é
picdot12l(1-cos(1)r) =pi2l(1-cos(1)r)

Resposta

boxedpi2l(1-cos(1)r)

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