Nome
Questão 3: Utilize coordenadas polares para calcular
integral duplaB(x^2+y^2)^2 d A
, onde B é a disco com centro na origem e raio 5 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaB(x^2+y^2)^2,dA
onde B é o disco de centro na origem e raio 5.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, pois a região e o integrando são radiais. Em polares usamos
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x^2+y^2=r^2,
logo o integrando fica (r^2)^2=r^4 e
dA = r,dr,dtheta
Portanto a integral vira
integral duplaB(x^2+y^2)^2,dA =integral0^2pi!integral0^5r^4,(r,dr),dtheta =integral0^2pi!integral0^5r^5,dr,dtheta

Passo 3

Calculemos primeiro a parte radial:
integral0^5r^5,dr =r^66|0^5 =5^66 =156256

Passo 4

Agora integramos em theta:
integral0^2pidtheta = 2pi
Multiplicando, obtemos
integral duplaB(x^2+y^2)^2,dA =156256times 2pi =31250pi6 =15625pi3

Resposta

15625pi3

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