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Questão 9: Calcule a integral dupla sobre a região dada
a) integral duplaD raizx^2+y^2 d A onde
D=(x, y) in R^2 mid x^2+(y-1)^2 <= 1 e x >= 0 e y >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral duplaDraizx^2+y^2;dA
onde
D=(x,y)mid x^2+(y-1)^2<=1,;x>=0,;y>=0
Aqui o conteúdo é mudança para coordenadas polares, pois a expressão raizx^2+y^2 e a forma circular de D ficam muito mais simples em polares.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
com Jacobiano dA = r,dr,dtheta. A integranda vira
raizx^2+y^2=r,
de modo que raizx^2+y^2,dA = rcdot r,dr,dtheta = r^2,dr,dtheta.

Passo 3

Precisamos achar os limites de r e theta vindos de
x^2+(y-1)^2<=1 ;Longrightarrow; r^2cos^2theta + (rsintheta-1)^2<=1
Expandindo e simplificando:
r^2 - 2rsintheta <=0 ;Longrightarrow; 0 <= r <= 2sintheta
Como exigimos ainda x>=0 e y>=0, temos costheta>=0 e sintheta>=0, ou seja
0<=theta<=pi2

Passo 4

Escrevendo a integral em polares com esses limites:
integral duplaDraizx^2+y^2;dA = integraltheta=0^pi/2!integralr=0^2sintheta r^2,dr,dtheta
Primeiro calculamos a integral interna em r:
integral0^2sintheta r^2,dr = [r^33]0^2sintheta = (2sintheta)^33 = 8sin^3theta3

Passo 5

Agora sobra integrar em theta:
integral0^pi/28sin^3theta3,dtheta =83integral0^pi/2sin^3theta,dtheta
Usamos sin^3theta=sintheta(1-cos^2theta) e obtemos
integralsin^3theta,dtheta =-costheta+cos^3theta3 g|0^pi/2 =0-l(-1+tfrac13r) =23
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83cdot23 =169

Resposta

169

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