Uma norma de segurança sugerida pela concessionária de uma auto-estrada recomenda que os motoristas que nela trafegam mantenham seus veículos separados por uma “distância” de 2,0 segundos.
a) Qual é essa distáncia, expressa adequadamente em metros para veículos que percorrem a estrada com a velocidade constante de 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ?
b) Suponha que, nessas condiçōes, um motorista freie bruscamente seu veículo até parar, com aceleração constante de módulo 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, e o motorista de trás só reaja, freando seu veículo, depois de 0,50 \mathrm{~s}. Qual deve ser a aceleração mínima do veículo de trás para não colidir com o da frente?

Passo 1

O enunciado fala de uma norma que recomenda manter os veículos separados por uma “distância” medida em tempo de 2{,}0 s. No item (a) vamos converter essa separação temporal em distância para quem trafega a 90 km/h, usando conversão de unidades e a relação distância = velocidade × tempo. No item (b) modelamos dois carros com frenagens escalonadas (atraso de reação 0{,}50 s e desaceleração constante) e usamos as equações de movimento retilíneo uniformemente variado para achar a desaceleração mínima do carro de trás que evita colisão.

Passo 2

Primeiro convertemos 90 km/h para m/s:
v = 90\;\frac{\text{km}}{\text{h}}\times\frac{1000\;\text{m}}{1\;\text{km}}\times\frac{1\;\text{h}}{3600\;\text{s}} =25\;\frac{\text{m}}{\text{s}}.
Como a separação recomendada é de 2{,}0 s, a distância correspondente é
d = v\cdot t = 25\;\frac{\text{m}}{\text{s}}\times 2{,}0\;\text{s} = 50\;\text{m}.

Passo 3

Para o item (b), marcamos posições iniciais no instante em que o carro da frente começa a frear (tempo t=0):
– carro da frente em x_f(0)=0, com velocidade v_0=25 m/s, desacelera a a_1=5{,}0 m/ s^{2} até parar;
– carro de trás em x_b(0)=-d com d=50 m e mesma velocidade inicial v_0; só inicia frenagem em t=t_r=0{,}50 s, com desaceleração a_2 a determinar.
Até t_r, o carro de trás continua em MRU, depois passa a MUV. As distâncias finais de parada são:
x_{f,\text{stop}}=\frac{v_0^2}{2a_1}, \quad x_{b,\text{stop}}=-d+v_0\,t_r+\frac{v_0^2}{2a_2}.
Para não haver colisão, exige-se
x_{b,\text{stop}}\le x_{f,\text{stop}}.

Passo 4

Substituindo as expressões:
-d+v_0\,t_r+\frac{v_0^2}{2a_2}\le\frac{v_0^2}{2a_1} \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{v_0^2}{2a_2}\le d - v_0\,t_r + \frac{v_0^2}{2a_1}.
Com v_0=25 m/s, d=50 m, t_r=0{,}50 s e a_1=5 m/ s^{2},\
d - v_0\,t_r + \frac{v_0^2}{2a_1} =50 - 25\times0{,}5 + \frac{25^2}{2\times5} =50 - 12{,}5 + 62{,}5 =100\;\text{m}.
Logo
\frac{25^2}{2a_2}\le100 \quad\Longrightarrow\quad a_2\ge\frac{25^2}{2\times100} =\frac{625}{200} =3{,}125\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.

Resposta

a) 50 m
b) 3{,}1 m/ s^{2} (mínimo)

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