Para uma Normal (5,10) coletou-se uma amostra de tamanho 25 . Calcule:
P(\bar{X} \leq 4,8).

Passo 1

O enunciado pede para calcular P(\bar{X} \leq 4,8).\n
Informações dadas:
  • A população segue a Normal (5,10). Vou usar a interpretação padrão em estatística de que o primeiro parâmetro é a média e o segundo é a variância, ou seja, \mu=5 e \sigma^{2}=10.\n
  • O tamanho da amostra é n=25.\n
  • Queremos a probabilidade de que a média amostral \bar{X} seja menor ou igual a 4,8.

Passo 2

Entendendo a distribuição da média amostral (a parte didática):\n
Quando tiramos uma amostra aleatória de n observações independentes de uma população Normal com média \mu e variância \sigma^{2}, a média amostral \bar{X} também é Normal com média igual à média da população e variância igual à variância da população dividida por n. Em fórmulas:
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\;\frac{\sigma^{2}}{n}\right).
Aqui:
  • \mu é a média da população (a “posição” do centro).
  • \sigma^{2} é a variância da população (uma medida de dispersão).
  • \frac{\sigma^{2}}{n} mostra que a variância da média amostral é menor — quanto maior n, mais concentrada fica \bar{X} em torno de \mu.\n
    Essa propriedade vem de duas coisas simples: (i) a esperança de uma soma é a soma das esperanças, e (ii) a variância de \frac{1}{n}\sum X_i é \frac{1}{n^{2}}\sum \mathrm{Var}(X_i)=\frac{\sigma^{2}}{n}.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso (cálculos numéricos):\n
Temos \mu=5 e \sigma^{2}=10. Assim,
\mu_{\bar{X}}=\mu=5,
\sigma^{2}_{\bar{X}}=\frac{\sigma^{2}}{n}=\frac{10}{25}=0,4.
A raiz quadrada da variância dá o desvio-padrão da média amostral:
\sigma_{\bar{X}}=\sqrt{0,4}=0,6324555\ldots
(ou seja, aproximadamente 0,6325).\n
Explicando: esse número 0,6325 é a “unidade de medida” que usamos para ver quão longe está 4,8 da média 5 quando medimos em termos da variabilidade da média amostral.

Passo 4

Padronizando para usar a tabela da Normal padrão (a parte didática):\n
A Normal padrão Z tem média 0 e variância 1. Para transformar \bar{X} em Z usamos
Z=\frac{\bar{X}-\mu_{\bar{X}}}{\sigma_{\bar{X}}}.
Então
P(\bar{X}\leq 4,8)=P\!\left(Z\leq \frac{4,8-5}{0,6324555\ldots}\right).
Calculando o numerador e a divisão:
4,8-5=-0,2,
\frac{-0,2}{0,6324555\ldots}\approx -0,31622777\ldots
Portanto
P(\bar{X}\leq 4,8)=P(Z\leq -0,31622777\ldots).

Passo 5

Usando a simetria da Normal padrão para obter a probabilidade (aula prática sobre tabelas):\n
Para a Normal padrão vale a identidade \Phi(-a)=1-\Phi(a), onde \Phi é a função de distribuição acumulada (CDF) da Normal padrão. Assim,
P(Z\leq -0,31622777\ldots)=\Phi(-0,31622777\ldots)=1-\Phi(0,31622777\ldots).
Consultando uma tabela da Normal padrão ou usando calculadora estatística, \Phi(0,3162) é aproximadamente 0,6241 (tabelas normalmente dão valores por centésimos; para z=0,32 a tabela dá 0,6255, para z=0,31 0,6217; interpolando chega-se a cerca de 0,6241).\n
Logo
P(\bar{X}\leq 4,8)\approx 1-0,6241=0,3759.

Passo 6

Conclusão e interpretação amigável:\n
A probabilidade de que a média amostral de tamanho 25 seja até 4,8 quando a população tem média 5 e variância 10 é cerca de 0,3759, ou seja, aproximadamente 37{,}6\%.\n
Você pode arredondar conforme a necessidade da prova; guardar a ideia principal: usamos a distribuição da média amostral, padronizamos e consultamos a Normal padrão. Vai dar certo na prova — respira fundo, você consegue!

Resposta

0,376

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