Para uma Normal
coletou-se uma amostra de tamanho 25 . Calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A população segue a Normal
. Vou usar a interpretação padrão em estatística de que o primeiro parâmetro é a média e o segundo é a variância, ou seja, e .\n - O tamanho da amostra é
.\n - Queremos a probabilidade de que a média amostral
seja menor ou igual a .
Passo 2
Entendendo a distribuição da média amostral (a parte didática):\n
Quando tiramos uma amostra aleatória de observações independentes de uma população Normal com média
e variância
, a média amostral
também é Normal com média igual à média da população e variância igual à variância da população dividida por
. Em fórmulas:
Quando tiramos uma amostra aleatória de
Aqui:
-
é a média da população (a “posição” do centro). -
é a variância da população (uma medida de dispersão). -
mostra que a variância da média amostral é menor — quanto maior , mais concentrada fica em torno de .\n
Essa propriedade vem de duas coisas simples: (i) a esperança de uma soma é a soma das esperanças, e (ii) a variância deé .
Passo 3
Aplicando ao nosso caso (cálculos numéricos):\n
Temos e
. Assim,
Temos
A raiz quadrada da variância dá o desvio-padrão da média amostral:
(ou seja, aproximadamente
).\n
Explicando: esse número é a “unidade de medida” que usamos para ver quão longe está
da média
quando medimos em termos da variabilidade da média amostral.
Explicando: esse número
Passo 4
Padronizando para usar a tabela da Normal padrão (a parte didática):\n
A Normal padrão tem média
e variância
. Para transformar
em
usamos
A Normal padrão
Então
Calculando o numerador e a divisão:
Portanto
Passo 5
Usando a simetria da Normal padrão para obter a probabilidade (aula prática sobre tabelas):\n
Para a Normal padrão vale a identidade , onde
é a função de distribuição acumulada (CDF) da Normal padrão. Assim,
Para a Normal padrão vale a identidade
Consultando uma tabela da Normal padrão ou usando calculadora estatística,
é aproximadamente
(tabelas normalmente dão valores por centésimos; para
a tabela dá
, para
dá
; interpolando chega-se a cerca de
).\n
Logo
Logo
Passo 6
Conclusão e interpretação amigável:\n
A probabilidade de que a média amostral de tamanho seja até
quando a população tem média
e variância
é cerca de
, ou seja, aproximadamente
.\n
Você pode arredondar conforme a necessidade da prova; guardar a ideia principal: usamos a distribuição da média amostral, padronizamos e consultamos a Normal padrão. Vai dar certo na prova — respira fundo, você consegue!
A probabilidade de que a média amostral de tamanho
Você pode arredondar conforme a necessidade da prova; guardar a ideia principal: usamos a distribuição da média amostral, padronizamos e consultamos a Normal padrão. Vai dar certo na prova — respira fundo, você consegue!