O presidente de uma distribuidora acredita que
das encomendas feitas na firma são provenientes de clientes que compram pela primeira vez. Suponha que o presidente esteja correto e que a proporção populacional seja
. Uma amostra aleatória simples de 100 pedidos será usado para estimar a proporção de clientes que compram pela primeira vez.
(a) Qual a distribuição amostral das proporções amostrais?
(b) Qual a probabilidade da proporção amostral ser estar no intervalo ( 0,
)?
(a) Qual a distribuição amostral das proporções amostrais?
(b) Qual a probabilidade da proporção amostral ser estar no intervalo ( 0,
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Informação dada: a proporção populacional de clientes que compram pela primeira vez é
. - Informação dada: o tamanho da amostra é
pedidos, amostra aleatória simples. - Pergunta (a): qual é a distribuição amostral das proporções amostrais
? - Pergunta (b): qual a probabilidade de que a proporção amostral esteja no intervalo
?
Passo 2
Entendendo o que é a proporção amostral
e sua relação com a distribuição binomial.
- Se
é o número de pedidos na amostra feitos por clientes de primeira vez, então segue uma distribuição binomial com parâmetros e :
Aqui
e
. A proporção amostral é definida por
- Isso significa que
é apenas escalado por . Portanto podemos obter as propriedades de a partir das de .
Passo 3
Cálculo da média e da variância de
(fórmulas e significado).
- Para
sabemos que a esperança e a variância são
- Para
aplicamos propriedades de esperança e variância (se é constante, e ). Assim
- O desvio padrão de
é a raiz quadrada da variância:
Explicação curta:
diz que a proporção amostral é um estimador não viciado de
. A fórmula da variância mostra que quanto maior
, menor a variabilidade de
.
Passo 4
Condição para usar a aproximação normal e cálculo numérico do desvio padrão.
- Para aproximar a distribuição discreta de
(ou de ) por uma normal usamos o teorema central do limite / aproximação de De Moivre-Laplace. Uma regra prática para proporções é checar se e . Aqui
ambos maiores que
, então a aproximação normal é adequada.
- Agora calculemos o desvio padrão numericamente:
Interpretação: espera-se que a proporção amostral oscile tipicamente cerca de
em torno de
.
Passo 5
Resposta da parte (a) — escrevendo a distribuição amostral usando a aproximação normal.
- Com a justificativa anterior, a distribuição amostral de
pode ser aproximada por uma normal com média e variância . Em palavras:
- Substituindo os números:
ou dito de outro modo: média
e desvio padrão
.
Passo 6
Configurar e calcular a probabilidade pedida na parte (b) usando a aproximação normal.
- Queremos
. Para usar a normal padrão transformamos em :
- Calcule os valores de
nas extremidades:
- Pela simetria da normal, a probabilidade pedida é
onde
é a função distribuição da normal padrão.
Passo 7
Avaliação numérica da probabilidade e interpretação.
- Usando tabelas ou calculadora para a normal padrão,
(aproximação). - Portanto
- Interpretação prática: se repetirmos amostras de
pedidos muitas vezes, cerca de das amostras produzirão uma proporção amostral entre e , supondo que a verdadeira proporção seja . - Observação final: a aproximação normal aqui é muito boa porque
é grande e não é extremo; se você quisesse a probabilidade exata poderia calcular com , mas para provas a aproximação normal é o procedimento esperado e praticável sem software.
Resposta
(a) A distribuição amostral de
é aproximadamente normal com média
e desvio padrão
.
(b)
(b)