O presidente de uma distribuidora acredita que 30 \% das encomendas feitas na firma são provenientes de clientes que compram pela primeira vez. Suponha que o presidente esteja correto e que a proporção populacional seja 30 \%. Uma amostra aleatória simples de 100 pedidos será usado para estimar a proporção de clientes que compram pela primeira vez.
(a) Qual a distribuição amostral das proporções amostrais?
(b) Qual a probabilidade da proporção amostral ser estar no intervalo ( 0, 20 ; 0,40 )?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informação dada: a proporção populacional de clientes que compram pela primeira vez é \,0,30.
  • Informação dada: o tamanho da amostra é n=100 pedidos, amostra aleatória simples.
  • Pergunta (a): qual é a distribuição amostral das proporções amostrais \hat{p}?
  • Pergunta (b): qual a probabilidade de que a proporção amostral esteja no intervalo (0,20;0,40)?

Passo 2

Entendendo o que é a proporção amostral \hat{p} e sua relação com a distribuição binomial.
  • Se X é o número de pedidos na amostra feitos por clientes de primeira vez, então X segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p:
X \sim \mathrm{Bin}(n,p).
Aqui n=100 e p=0,30. A proporção amostral é definida por
\hat{p}=\frac{X}{n}.
  • Isso significa que \hat{p} é apenas X escalado por n. Portanto podemos obter as propriedades de \hat{p} a partir das de X.

Passo 3

Cálculo da média e da variância de \hat{p} (fórmulas e significado).
  • Para X\sim\mathrm{Bin}(n,p) sabemos que a esperança e a variância são
E[X]=np,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p).
  • Para \hat{p}=X/n aplicamos propriedades de esperança e variância (se a é constante, E[aX]=aE[X] e \mathrm{Var}(aX)=a^2\mathrm{Var}(X)). Assim
E[\hat{p}]=\frac{E[X]}{n}=\frac{np}{n}=p,
\mathrm{Var}(\hat{p})=\frac{\mathrm{Var}(X)}{n^2}=\frac{np(1-p)}{n^2}=\frac{p(1-p)}{n}.
  • O desvio padrão de \hat{p} é a raiz quadrada da variância:
\sigma_{\hat{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
Explicação curta: E[\hat p]=p diz que a proporção amostral é um estimador não viciado de p. A fórmula da variância mostra que quanto maior n, menor a variabilidade de \hat p.

Passo 4

Condição para usar a aproximação normal e cálculo numérico do desvio padrão.
  • Para aproximar a distribuição discreta de X (ou de \hat p) por uma normal usamos o teorema central do limite / aproximação de De Moivre-Laplace. Uma regra prática para proporções é checar se np\ge 10 e n(1-p)\ge 10. Aqui
np=100\cdot0,30=30\quad\text{e}\quad n(1-p)=100\cdot0,70=70,
ambos maiores que 10, então a aproximação normal é adequada.
  • Agora calculemos o desvio padrão numericamente:
\sigma_{\hat{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}=\sqrt{\frac{0,30\cdot0,70}{100}}=\sqrt{\frac{0,21}{100}}=\sqrt{0,0021}\approx0,0458.
Interpretação: espera-se que a proporção amostral oscile tipicamente cerca de 0,0458 em torno de 0,30.

Passo 5

Resposta da parte (a) — escrevendo a distribuição amostral usando a aproximação normal.
  • Com a justificativa anterior, a distribuição amostral de \hat{p} pode ser aproximada por uma normal com média p e variância p(1-p)/n. Em palavras:
\hat{p}\\ \text{é aproximadamente}\\ N\!\left(p,\;\frac{p(1-p)}{n}\right).é
  • Substituindo os números:
\hat{p}\\ \text{é aproximadamente}\\ N\!\left(0,3,\;0,0458^{2}\right),é
ou dito de outro modo: média \,0,3 e desvio padrão \,0,0458.

Passo 6

Configurar e calcular a probabilidade pedida na parte (b) usando a aproximação normal.
  • Queremos \Pr(0,20<\hat p<0,40). Para usar a normal padrão transformamos em Z:
Z=\frac{\hat p-p}{\sigma_{\hat p}}.
  • Calcule os valores de Z nas extremidades:
z_{\text{inf}}=\frac{0,20-0,30}{0,0458}\approx\frac{-0,10}{0,0458}\approx-2,1827,
z_{\text{sup}}=\frac{0,40-0,30}{0,0458}\approx\frac{0,10}{0,0458}\approx+2,1827.
  • Pela simetria da normal, a probabilidade pedida é
\Pr(0,20<\hat p<0,40)=\Pr\big(z_{\text{inf}}<Z<z_{\text{sup}}\big)=\Phi(2,1827)-\Phi(-2,1827)=2\Phi(2,1827)-1,
onde \Phi é a função distribuição da normal padrão.

Passo 7

Avaliação numérica da probabilidade e interpretação.
  • Usando tabelas ou calculadora para a normal padrão, \Phi(2,1827)\approx0,9855 (aproximação).
  • Portanto
\Pr(0,20<\hat p<0,40)\approx 2\cdot0,9855-1=0,9710\approx0,971.
  • Interpretação prática: se repetirmos amostras de 100 pedidos muitas vezes, cerca de 97{,}1\% das amostras produzirão uma proporção amostral entre 0,20 e 0,40, supondo que a verdadeira proporção seja 0,30.
  • Observação final: a aproximação normal aqui é muito boa porque n é grande e p não é extremo; se você quisesse a probabilidade exata poderia calcular \Pr(20\le X\le40) com X\sim\mathrm{Bin}(100,0,30), mas para provas a aproximação normal é o procedimento esperado e praticável sem software.

Resposta

(a) A distribuição amostral de \hat{p} é aproximadamente normal com média \,0,3 e desvio padrão \,0,0458.
(b) \Pr(0,20<\hat{p}<0,40)\approx0,971

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