Sejam
uma amostra aleatória da variável aleatória
. Considere os estimadores:
Determine:
(a) se os estimadores são viciados para
.
(b) a variância dos estimadores
(c) o melhor estimador.
(a) se os estimadores são viciados para
(b) a variância dos estimadores
(c) o melhor estimador.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória
de uma variável
com esperança
e variância
. São definidos dois estimadores:
O que nos pedem:
(a) verificar se cada estimador é viciado (isto é, se é enviesado) para ;\n
(b) calcular a variância de cada estimador;\n
(c) indicar qual dos dois é o melhor estimador, justificando.
(a) verificar se cada estimador é viciado (isto é, se é enviesado) para
(b) calcular a variância de cada estimador;\n
(c) indicar qual dos dois é o melhor estimador, justificando.
Informações relevantes extraídas do enunciado que usaremos: a amostra é de
(logo assumimos
independentes e identicamente distribuídos) e
.
Passo 2
Explicando o conceito de viés (enviesamento) de maneira simples: o viés de um estimador
é definido por
Se
dizemos que
é não-viciado (ou imparcial, unbiased). Para calcular
vamos usar uma propriedade fundamental: a linearidade da esperança. Isso significa que, para constantes
,
Aqui
para cada
. Não precisamos conhecer a distribuição completa de
para aplicar essa propriedade.
Passo 3
Calculemos
passo a passo usando linearidade da esperança:
Como
para cada
, obtemos
Então
. Conclusão:
é não-viciado.
Passo 4
Agora
. De novo usando linearidade da esperança:
Substituindo
obtemos
Logo
. Conclusão:
também é não-viciado.
Comentários rápidos e motivadores: ótima notícia — os dois estimadores têm média correta, isto é, no longo prazo eles acertam o valor de
em média.
Passo 5
Agora precisamos da variância de cada estimador. Vamos lembrar a fórmula para variância de combinação linear de variáveis aleatórias. Se
, então
No nosso caso, como
são amostra (assumimos independentes), temos
para
. Além disso
. Assim a expressão se simplifica para
Isto significa que basta somar os quadrados dos coeficientes.
Passo 6
Aplicando isso a
: os coeficientes são
. Então
Portanto
.
Passo 7
Para
os coeficientes são
. Então
Fazendo as contas:
logo
Portanto
.
Passo 8
Comparação e escolha do melhor estimador. Ambos são não-viciados, então o critério natural para decidir qual é melhor é minimizar a variância (ou o erro quadrático médio, MSE; para estimadores não-viciados,
). Temos
Como
,
tem menor variância e, sendo ambos não-viciados, é o melhor estimador entre os dois (mais preciso, menos disperso em torno de
).
Breve interpretação intuitiva:
dá pesos iguais aos três observáveis, enquanto
dá peso maior a
e menos aos outros; como todas as observações têm a mesma variância, distribuir o peso igualmente minimiza a soma dos quadrados dos coeficientes (sujeito à soma dos coeficientes igual a 1), resultando na menor variância — é por isso que a média amostral costuma ser ótima nesse sentido.
Resposta
(a) Ambos são não-viciados (ambos têm esperança
).
(b)
e
.
(c) O melhor estimador é , pois é não-viciado e tem menor variância.
(b)
(c) O melhor estimador é