Sejam X_{1}, X_{2}, X_{3} uma amostra aleatória da variável aleatória X \operatorname{com} E(X)=\theta \mathrm{e} \operatorname{Var}(X)=1. Considere os estimadores:
\hat{\theta}_{1}=\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}}{3} \quad \text { e } \quad \hat{\theta}_{2}=\frac{1}{2} X_{1}+\frac{1}{4} X_{2}+\frac{1}{4} X_{3}
Determine:
(a) se os estimadores são viciados para \theta.
(b) a variância dos estimadores
(c) o melhor estimador.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória \,X_{1},X_{2},X_{3}\, de uma variável X com esperança \,E(X)=\theta\, e variância \,\operatorname{Var}(X)=1\,. São definidos dois estimadores:
\hat{\theta}_{1}=\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}}{3},\qquad \hat{\theta}_{2}=\frac{1}{2}X_{1}+\frac{1}{4}X_{2}+\frac{1}{4}X_{3}.
O que nos pedem:
(a) verificar se cada estimador é viciado (isto é, se é enviesado) para \theta;\n
(b) calcular a variância de cada estimador;\n
(c) indicar qual dos dois é o melhor estimador, justificando.
Informações relevantes extraídas do enunciado que usaremos: a amostra é de X (logo assumimos X_{1},X_{2},X_{3} independentes e identicamente distribuídos) e \operatorname{Var}(X)=1.

Passo 2

Explicando o conceito de viés (enviesamento) de maneira simples: o viés de um estimador \hat{\theta} é definido por
\operatorname{Bias}(\hat{\theta})=E(\hat{\theta})-\theta.
Se \operatorname{Bias}(\hat{\theta})=0 dizemos que \hat{\theta} é não-viciado (ou imparcial, unbiased). Para calcular E(\hat{\theta}) vamos usar uma propriedade fundamental: a linearidade da esperança. Isso significa que, para constantes a_i,
E\Big(\sum_i a_i X_i\Big)=\sum_i a_i E(X_i).
Aqui E(X_i)=\theta para cada i. Não precisamos conhecer a distribuição completa de X para aplicar essa propriedade.

Passo 3

Calculemos E(\hat{\theta}_1) passo a passo usando linearidade da esperança:
E(\hat{\theta}_1)=E\Big(\frac{X_1+X_2+X_3}{3}\Big) =\frac{1}{3}\big(E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)\big).
Como E(X_i)=\theta para cada i, obtemos
E(\hat{\theta}_1)=\frac{1}{3}( \theta+\theta+\theta)=\frac{3\theta}{3}=\theta.
Então \operatorname{Bias}(\hat{\theta}_1)=E(\hat{\theta}_1)-\theta=0. Conclusão: \hat{\theta}_1 é não-viciado.

Passo 4

Agora E(\hat{\theta}_2). De novo usando linearidade da esperança:
E(\hat{\theta}_2)=E\Big(\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{4}X_2+\frac{1}{4}X_3\Big) =\frac{1}{2}E(X_1)+\frac{1}{4}E(X_2)+\frac{1}{4}E(X_3).
Substituindo E(X_i)=\theta obtemos
E(\hat{\theta}_2)=\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\theta+\frac{1}{4}\theta =\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)\theta=\theta.
Logo \operatorname{Bias}(\hat{\theta}_2)=0. Conclusão: \hat{\theta}_2 também é não-viciado.
Comentários rápidos e motivadores: ótima notícia — os dois estimadores têm média correta, isto é, no longo prazo eles acertam o valor de \theta em média.

Passo 5

Agora precisamos da variância de cada estimador. Vamos lembrar a fórmula para variância de combinação linear de variáveis aleatórias. Se \hat{\theta}=\sum_i a_i X_i, então
\operatorname{Var}(\hat{\theta})=\sum_i a_i^2 \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{i<j} a_i a_j \operatorname{Cov}(X_i,X_j).
No nosso caso, como \,X_1,X_2,X_3\, são amostra (assumimos independentes), temos \operatorname{Cov}(X_i,X_j)=0 para i\ne j. Além disso \operatorname{Var}(X_i)=1. Assim a expressão se simplifica para
\operatorname{Var}\Big(\sum_i a_i X_i\Big)=\sum_i a_i^2 \cdot 1=\sum_i a_i^2.
Isto significa que basta somar os quadrados dos coeficientes.

Passo 6

Aplicando isso a \hat{\theta}_1: os coeficientes são a_1=a_2=a_3=\frac{1}{3}. Então
\operatorname{Var}(\hat{\theta}_1)=\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2 =3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2 =3\cdot\frac{1}{9}=\frac{1}{3}.
Portanto \operatorname{Var}(\hat{\theta}_1)=\frac{1}{3}.

Passo 7

Para \hat{\theta}_2 os coeficientes são a_1=\frac{1}{2},\,a_2=\frac{1}{4},\,a_3=\frac{1}{4}. Então
\operatorname{Var}(\hat{\theta}_2)=\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^2 =\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}.
Fazendo as contas:
\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8},
logo
\operatorname{Var}(\hat{\theta}_2)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}.
Portanto \operatorname{Var}(\hat{\theta}_2)=\frac{3}{8}.

Passo 8

Comparação e escolha do melhor estimador. Ambos são não-viciados, então o critério natural para decidir qual é melhor é minimizar a variância (ou o erro quadrático médio, MSE; para estimadores não-viciados, \mathrm{MSE}=\operatorname{Var}). Temos
\operatorname{Var}(\hat{\theta}_1)=\frac{1}{3}\approx 0,3333,\qquad \operatorname{Var}(\hat{\theta}_2)=\frac{3}{8}=0,375.
Como \frac{1}{3}<\frac{3}{8}, \hat{\theta}_1 tem menor variância e, sendo ambos não-viciados, é o melhor estimador entre os dois (mais preciso, menos disperso em torno de \theta).
Breve interpretação intuitiva: \hat{\theta}_1 dá pesos iguais aos três observáveis, enquanto \hat{\theta}_2 dá peso maior a X_1 e menos aos outros; como todas as observações têm a mesma variância, distribuir o peso igualmente minimiza a soma dos quadrados dos coeficientes (sujeito à soma dos coeficientes igual a 1), resultando na menor variância — é por isso que a média amostral costuma ser ótima nesse sentido.

Resposta

(a) Ambos são não-viciados (ambos têm esperança \theta).
(b) \operatorname{Var}(\hat{\theta}_1)=\frac{1}{3} \quad e \quad \operatorname{Var}(\hat{\theta}_2)=\frac{3}{8}.
(c) O melhor estimador é \hat{\theta}_1, pois é não-viciado e tem menor variância.

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