Nota: Os seguintes exercícios abordam espaços vetoriais com suas respectivas operações usuais.
Sejam
e
dois espaços vetoriais reais e seja
uk produto interno em
. Seja
uma transformação linear injetora, mostre que
define um produto interno em
.
Sejam
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dada uma transformação linear injetora
e um produto interno
em
, a fórmula
satisfaz os três axiomas de produto interno em
: (i) simetria, (ii) bilinearidade e (iii) definitude positiva.
Passo 2
Simetria. Como o produto interno original em
é simétrico, para todo
temos
Passo 3
Bilinearidade. Seja
e
. Usando linearidade de
e bilinearidade de
em
:
Pela simetria já estabelecida, segue também linearidade no segundo argumento.
Passo 4
Definitude positiva. Para todo
,
porque o produto interno em
é positivo-definido. Se
, então
implica
e, pela injetividade de
, segue
.
Resposta
A forma
satisfaz simetria, bilinearidade e definitude positiva em
, logo define um produto interno em
.