Nota: Os seguintes exercícios abordam espaços vetoriais com suas respectivas operações usuais.
Sejam V e W dois espaços vetoriais reais e seja lang<=, rang<= uk produto interno em V. Seja T: W V uma transformação linear injetora, mostre que
lang<= u, vrang<=T=lang<= T(u), T(v)rang<=, forall u, v in W
define um produto interno em W.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dada uma transformação linear injetora Tcolon Wto V e um produto interno lang<=cdot,cdotrang<= em V, a fórmula
lang<= u,vrang<=T ;=;lang<= T(u),T(v)rang<=, forall,u,vin W
satisfaz os três axiomas de produto interno em W: (i) simetria, (ii) bilinearidade e (iii) definitude positiva.

Passo 2

Simetria. Como o produto interno original em V é simétrico, para todo u,vin W temos
lang<= u,vrang<=T =lang<= T(u),T(v)rang<= =lang<= T(v),T(u)rang<= =lang<= v,urang<=T

Passo 3

Bilinearidade. Seja u1,u2,vin W e alphainR. Usando linearidade de T e bilinearidade de lang<=cdot,cdotrang<= em V:
lang<= u1+u2,vrang<=T =lang<= T(u1+u2),T(v)rang<= =lang<= T(u1)+T(u2),T(v)rang<= =lang<= T(u1),T(v)rang<=+lang<= T(u2),T(v)rang<= =lang<= u1,vrang<=T+lang<= u2,vrang<=T,
lang<= alpha u1,vrang<=T =lang<= T(alpha u1),T(v)rang<= =lang<= alpha,T(u1),T(v)rang<= =alpha,lang<= T(u1),T(v)rang<= =alpha,lang<= u1,vrang<=T
Pela simetria já estabelecida, segue também linearidade no segundo argumento.

Passo 4

Definitude positiva. Para todo uin W,
lang<= u,urang<=T =lang<= T(u),T(u)rang<= >= 0
porque o produto interno em V é positivo-definido. Se lang<= u,urang<=T=0, então lang<= T(u),T(u)rang<==0 implica T(u)=0 e, pela injetividade de T, segue u=0.

Resposta

A forma
lang<= u,vrang<=T=lang<= T(u),T(v)rang<=
satisfaz simetria, bilinearidade e definitude positiva em W, logo define um produto interno em W.

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