As notas dos alunos de Estatística da UNESP distribuem-se normalmente com média de 6,4 e desvio padrão de 0,8 . Selecionado um aluno ao acaso, qual a probabilidade de sua nota ser:
maior que 7,5.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • As notas são normalmente distribuídas com média \mu = 6,4.
  • O desvio padrão é \sigma = 0,8.
  • Seleciona-se um aluno ao acaso e pede-se a probabilidade de sua nota ser maior que \,7,5.
Pergunta a responder: calcular \,P(X>7,5) onde X é a nota.

Passo 2

Vamos transformar o problema para usar a distribuição normal padrão, que é mais fácil de consultar. A ideia é “padronizar” a variável X para obter uma variável Z que tenha distribuição normal padrão N(0,1). A fórmula de padronização é:
Z = \frac{X - \mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original (nota do aluno),
  • \mu é a média da distribuição ( \mu = 6,4),
  • \sigma é o desvio padrão ( \sigma = 0,8),
  • Z é a nova variável com média 0 e desvio padrão 1.
Explicação intuitiva: subtrai-se a média para medir o quanto X está acima ou abaixo da média, e divide-se pelo desvio padrão para medir isso em “unidades de desvio padrão”. Assim diferentes normais ficam comparáveis.

Passo 3

Calcular o valor de Z correspondente a X=7,5:
Primeiro a diferença:
7,5-6,4 = 1,1.
Agora dividir pelo desvio padrão:
z = \frac{1,1}{0,8} = 1,375.
Portanto, o evento \{X>7,5\} é equivalente ao evento \{Z>1,375\}.

Passo 4

A probabilidade que queremos é
P(X>7,5)=P\big(Z>1,375\big)=1-\Phi(1,375),
onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão, isto é \Phi(a)=P(Z\le a).
Agora precisamos de \Phi(1,375). Como a maioria das tabelas de Z dá valores com duas casas decimais, vamos usar interpolação linear entre \Phi(1,37) e \Phi(1,38).
Valores da tabela (valores típicos usados em tabelas z):
\Phi(1,37)=0,9147,\qquad \Phi(1,38)=0,9162.
A diferença entre 1,37 e 1,38 é 0,01; nosso ponto 1,375 está a 0,005 de 1,37, ou seja, exatamente na metade. Fazendo interpolação linear:
\Phi(1,375)\approx \frac{\Phi(1,37)+\Phi(1,38)}{2}=\frac{0,9147+0,9162}{2}=0,91545.
Portanto
P(X>7,5)=1-0,91545=0,08455.
Arredondando de forma razoável (três casas significativas):
P(X>7,5)\approx 0,0846,
ou seja aproximadamente 8,46\%.

Passo 5

Interpretação e dicas rápidas:
  • A resposta significa que, se escolhermos um aluno ao acaso, a chance de ele tirar mais de \,7,5 é cerca de 8,46\%.
  • Alternativa prática: em prova, se for permitido usar calculadora com função normal, computa-se diretamente 1-\Phi(1,375). Se só houver tabela, use interpolação como fizemos.
  • Pequeno encorajamento: essa técnica de padronizar e usar a tabela é padrão em questões de probabilidade com normais; com prática fica automático — você tá quase lá!

Resposta

0,0846 (aproximadamente 8,46\%)

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