Um teste de inteligência foi aplicado a 1000 alunos de uma escola superior, obtendo-se uma distribuição normal, fornecendo os seguintes parâmetros mu=32 e sigma^{2}=16.
Qual a porcentagem dos casos abaixo do escore 38?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de 1000 alunos com escores que seguem uma distribuição normal e fornece os parâmetros:
  • média \mu=32 (peguei isto do enunciado),
  • variância \sigma^{2}=16 (peguei isto do enunciado).
A pergunta é: qual a porcentagem dos casos com escore abaixo de 38? Ou seja, calcular \Pr(X<38) onde X\sim N(\mu,\sigma^{2}).

Passo 2

Vamos identificar o desvio padrão \sigma, pois a variância dada é \sigma^{2}. A fórmula é:
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}.
Substituindo o valor fornecido:
\sigma=\sqrt{16}=4.

Passo 3

Para trabalhar com a normal usamos a padronização (transformar em variável normal padrão). A variável normal padrão Z tem média 0 e desvio padrão 1. A padronização é feita por:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde X é a variável original, \mu é a média e \sigma é o desvio padrão. Aqui queremos \Pr(X<38). Aplicando a padronização:
Z=\frac{38-32}{4}=\frac{6}{4}=1,5.
Portanto \Pr(X<38)=\Pr\big(Z<1,5\big).

Passo 4

Agora precisamos do valor da função de distribuição acumulada da normal padrão em z=1,5, isto é \Phi(1,5)=\Pr(Z<1,5). Em tabelas de normal padrão ou numa calculadora estatística encontra-se:
\Phi(1,5)\approx 0,9332.
Interpretando: 0,9332 significa 93{,}32\% da distribuição está abaixo de z=1,5.

Passo 5

Concluindo a tradução para o problema original: a porcentagem de alunos com escore abaixo de 38 é aproximadamente 93{,}32\%. Um jeito prático na prova: calcule \sigma, calcule z pela fórmula da padronização e consulte a tabela da normal padrão para \Phi(z).

Resposta

93,32%

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