Um teste de inteligência foi aplicado a 1000 alunos de uma escola superior, obtendo-se uma distribuição normal, fornecendo os seguintes parâmetros mu=32 e sigma^{2}=16.
Qual a porcentagem dos casos entre 27 e 31?

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição normal obtida em uma amostra de 1000 alunos com os parâmetros:
  • média \mu = 32,
  • variância \sigma^{2} = 16.
A pergunta é: qual a porcentagem dos casos entre 27 e 31? Ou seja, queremos calcular
\text{proporção} = P(27 \le X \le 31),çã
onde X é a variável aleatória com a distribuição normal fornecida.

Passo 2

Vamos entender a ideia principal que vamos usar (passo-a-passo, devagar e sem jargão).
Quando X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, uma forma padrão de calcular probabilidades é transformar X numa variável normal padrão Z (que tem média 0 e desvio padrão 1). A fórmula de padronização é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é a pontuação original (por exemplo 27 ou 31),
  • \mu é a média (aqui 32),
  • \sigma é o desvio padrão (a raiz quadrada da variância).
Após padronizar, as probabilidades viram valores da função de distribuição acumulada da normal padrão, que denotamos por \Phi(\cdot), isto é
P(a \le X \le b)=P\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma} \le Z \le \frac{b-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).
A função \Phi(z) dá a probabilidade P(Z \le z) para Z\sim N(0,1). Em provas costuma-se usar tabela da normal padrão ou calculadora para obter \Phi(z).

Passo 3

Calcular o desvio padrão:
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{16}=4.

Passo 4

Calcular os valores padronizados (os z-scores) para os limites 27 e 31:
z_{\text{inferior}}=\frac{27-\mu}{\sigma}=\frac{27-32}{4}=\frac{-5}{4}=-1{,}25,
z_{\text{superior}}=\frac{31-\mu}{\sigma}=\frac{31-32}{4}=\frac{-1}{4}=-0{,}25.
Interpretação rápida: 27 está 1{,}25 desvios padrão abaixo da média e 31 está 0{,}25 desvios padrão abaixo da média.

Passo 5

Converter a probabilidade para a normal padrão:
P(27 \le X \le 31)=\Phi(-0{,}25)-\Phi(-1{,}25).
Usando a simetria da normal padrão, \Phi(-a)=1-\Phi(a). Assim:
\Phi(-0{,}25)-\Phi(-1{,}25)=(1-\Phi(0{,}25))-(1-\Phi(1{,}25))=\Phi(1{,}25)-\Phi(0{,}25).
Essa última forma é prática porque as tabelas costumam dar \Phi para z\ge0.

Passo 6

Ler (ou calcular) os valores da normal padrão:
  • \Phi(0{,}25)\approx 0{,}59871,
  • \Phi(1{,}25)\approx 0{,}89435.
Subtraindo:
P(27 \le X \le 31)=\Phi(1{,}25)-\Phi(0{,}25)\approx 0{,}89435-0{,}59871=0{,}29564.
Convertendo para porcentagem: 0{,}29564\approx 29{,}56\%.

Passo 7

Interpretação final e dica de prova: aproximadamente 29{,}56\% dos alunos têm pontuação entre 27 e 31. Em prova, faça os passos na mesma ordem: calcule \sigma, obtenha os z-scores, e use a tabela de \Phi (ou calculadora) — e lembre-se da simetria \Phi(-a)=1-\Phi(a) para facilitar leituras.

Resposta

29{,}56\%

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