Um teste de inteligência foi aplicado a 1000 alunos de uma escola superior, obtendo-se uma distribuição normal, fornecendo os seguintes parâmetros
e
.
Qual a porcentagem dos casos entre 27 e 31?
Qual a porcentagem dos casos entre 27 e 31?
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição normal obtida em uma amostra de
alunos com os parâmetros:
- média
, - variância
.
A pergunta é: qual a porcentagem dos casos entre
e
? Ou seja, queremos calcular
onde
é a variável aleatória com a distribuição normal fornecida.
Passo 2
Vamos entender a ideia principal que vamos usar (passo-a-passo, devagar e sem jargão).
Quando
é normal com média
e desvio padrão
, uma forma padrão de calcular probabilidades é transformar
numa variável normal padrão
(que tem média
e desvio padrão
). A fórmula de padronização é:
Aqui:
-
é a pontuação original (por exemplo ou ), -
é a média (aqui ), -
é o desvio padrão (a raiz quadrada da variância).
Após padronizar, as probabilidades viram valores da função de distribuição acumulada da normal padrão, que denotamos por
, isto é
A função
dá a probabilidade
para
. Em provas costuma-se usar tabela da normal padrão ou calculadora para obter
.
Passo 3
Calcular o desvio padrão:
Passo 4
Calcular os valores padronizados (os
-scores) para os limites
e
:
Interpretação rápida:
está
desvios padrão abaixo da média e
está
desvios padrão abaixo da média.
Passo 5
Converter a probabilidade para a normal padrão:
Usando a simetria da normal padrão,
. Assim:
Essa última forma é prática porque as tabelas costumam dar
para
.
Passo 6
Ler (ou calcular) os valores da normal padrão:
-
, -
.
Subtraindo:
Convertendo para porcentagem:
.
Passo 7
Interpretação final e dica de prova: aproximadamente
dos alunos têm pontuação entre
e
. Em prova, faça os passos na mesma ordem: calcule
, obtenha os
-scores, e use a tabela de
(ou calculadora) — e lembre-se da simetria
para facilitar leituras.