Use o PIM para provar as propriedades abaixo entre os termos da sequência de Fibonacci, para todo natural
.
.
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução que, para todo natural
, vale
onde
é a sequência de Fibonacci com
e
. Vamos usar o Princípio da Indução Matemática (PIM).
Passo 2
Base da indução
.
O lado esquerdo é
O lado esquerdo é
e o lado direito é
Logo, a fórmula vale para
.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que, para algum
,
Vamos mostrar que daí segue
De fato,
onde usamos a hipótese de indução no segundo passo e a relação de Fibonacci
no último.
Passo 4
Pelo Princípio da Indução Matemática, a fórmula
é verdadeira para todo .
é verdadeira para todo