Use o PIM para provar as propriedades abaixo entre os termos da sequência de Fibonacci, para todo natural n \geq 1.
F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+\cdots+F_{n}^{2}=F_{n} F_{n+1}.

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução que, para todo natural n\ge1, vale
\sum_{i=1}^{n}F_i^2 \;=\; F_n\,F_{n+1},
onde \{F_n\} é a sequência de Fibonacci com F_1=F_2=1 e F_{n+2}=F_{n+1}+F_n. Vamos usar o Princípio da Indução Matemática (PIM).

Passo 2

Base da indução n=1.
O lado esquerdo é
\sum_{i=1}^{1}F_i^2 = F_1^2 = 1^2 = 1,
e o lado direito é
F_1\,F_{2} = 1\cdot1 = 1.
Logo, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que, para algum k\ge1,
\sum_{i=1}^{k}F_i^2 = F_k\,F_{k+1}.
Vamos mostrar que daí segue
\sum_{i=1}^{k+1}F_i^2 = F_{k+1}\,F_{k+2}.
De fato,
\sum_{i=1}^{k+1}F_i^2 = \Bigl(\sum_{i=1}^{k}F_i^2\Bigr) + F_{k+1}^2 = F_k\,F_{k+1} + F_{k+1}^2 = F_{k+1}\,\bigl(F_k + F_{k+1}\bigr) = F_{k+1}\,F_{k+2},
onde usamos a hipótese de indução no segundo passo e a relação de Fibonacci F_{k+2}=F_{k+1}+F_k no último.

Passo 4

Pelo Princípio da Indução Matemática, a fórmula \sum_{i=1}^{n}F_i^2 = F_n\,F_{n+1}
é verdadeira para todo n\ge1.

Resposta

\sum_{i=1}^{n}F_i^2 = F_n\,F_{n+1}.

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