O tensor métrico
é usado para baixar índices, por exemplo podemos definir o vetor covariante
. Utilizar as regras do exercício anterior para mostrar que
de fato transforma como um vetor covariante. O inverso do tensor métrico e definido como
, tal que
. Logo, mostrar que é consistente definir o vetor contravariante
. Finalmente, mostrar que a contração
é invariante baixo TL.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que ao usar o tensor métrico
para baixar índices, o objeto
de fato se comporta como vetor covariante; em seguida, usar o inverso
para levantar índice e verificar consistência em
; por fim, provar que a quantidade
é invariante sob transformações de Lorentz. Para isso precisamos das regras de transformação de tensores: um vetor contravariante e o próprio métrico são tensores que seguem
Passo 2
As regras de transformação que vamos usar são
Aqui
é a matriz de transformação de Lorentz.
Passo 3
Agora construímos
Isso mostra que de fato
transforma como um objeto covariante.
Passo 4
Para levantar índice definimos o inverso do métrico por
e ele também transforma como tensor:
Então
o que confirma a consistência.
Passo 5
Por fim, a contração
sob TL vira
pois as
satisfazem
.
Resposta
Mostramos que (i)
transforma como vetor covariante, (ii)
transforma como vetor contravariante, e (iii) a contração
é invariante sob transformações de Lorentz.