O tensor métrico gmu nu é usado para baixar índices, por exemplo podemos definir o vetor covariante Amu equiv gmu nu A^nu. Utilizar as regras do exercício anterior para mostrar que Amu de fato transforma como um vetor covariante. O inverso do tensor métrico e definido como g^mu nu, tal que g^mu rho grho nu=de. Logo, mostrar que é consistente definir o vetor contravariante A^mu equiv g^mu nu Anu. Finalmente, mostrar que a contração gmu nu A^mu A^nu é invariante baixo TL.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que ao usar o tensor métrico gmunu para baixar índices, o objeto Amu=gmunuA^nu de fato se comporta como vetor covariante; em seguida, usar o inverso g^munu para levantar índice e verificar consistência em A^mu=g^munuAnu; por fim, provar que a quantidade gmunuA^muA^nu é invariante sob transformações de Lorentz. Para isso precisamos das regras de transformação de tensores: um vetor contravariante e o próprio métrico são tensores que seguem

Passo 2

As regras de transformação que vamos usar são
A'^mu=Lambda^mu nuA^nu,
g'munu=Lambda^alpha mu,Lambda^beta nu,galphabeta
Aqui Lambda^mu nu é a matriz de transformação de Lorentz.

Passo 3

Agora construímos
A'mu=g'munu,A'^nu =l(Lambda^alpha mu,Lambda^beta nu,galphabetar),l(Lambda^nu gammaA^gammar) =Lambda^alpha mu,galphabeta,A^beta =Lambda^alpha muAalpha
Isso mostra que de fato Amu transforma como um objeto covariante.

Passo 4

Para levantar índice definimos o inverso do métrico por
g^murhogrhonu=de
e ele também transforma como tensor:
g'^munu=Lambda^mu alpha,Lambda^nu beta,g^alphabeta
Então
A'^mu=g'^munuA'nu =Lambda^mu alpha,Lambda^nu beta,g^alphabeta,l(Lambda^gamma nuAgammar) =Lambda^mu alphag^alphabetaAbeta =Lambda^mu alphaA^alpha,
o que confirma a consistência.

Passo 5

Por fim, a contração
I=gmunuA^muA^nu
sob TL vira
I'=g'munuA'^muA'^nu =Lambda^alpha mu,Lambda^beta nu,galphabeta,Lambda^mu gammaA^gamma,Lambda^nu de
pois as Lambda satisfazem Lambda^Tg,Lambda=g.

Resposta

Mostramos que (i) Amu=gmunuA^nu transforma como vetor covariante, (ii) A^mu=g^munuAnu transforma como vetor contravariante, e (iii) a contração gmunuA^muA^nu é invariante sob transformações de Lorentz.

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