Utilizando o teste da comparação mostre que a série dada é convergente:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
é convergente usando o teste da comparação. Aqui o conteúdo é séries de termos positivos e vamos comparar com uma série
-série que a gente já sabe que converge (com
).
Passo 2
Primeiro notamos que, para todo
, temos
Como a função exponencial é crescente, disso segue
Passo 3
Logo o termo geral da nossa série satisfaz
Além disso, para
vale
, então
Passo 4
Portanto
Mas sabemos que a série
é convergente, pois
é uma
-série com
.
Passo 5
Pelo teste da comparação direta, como
e a série
converge, conclui-se que
também converge.
Resposta
A série convergente pelo teste da comparação.