Utilizando o teste da comparação mostre que a série dada é convergente:
sumn=1^infty e^tan ^-1 nn^2+1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumn=1^infty e^tan^-1nn^2+1
é convergente usando o teste da comparação. Aqui o conteúdo é séries de termos positivos e vamos comparar com uma série p-série que a gente já sabe que converge (com p=2).

Passo 2

Primeiro notamos que, para todo n>=1, temos
0 < tan^-1n < pi2
Como a função exponencial é crescente, disso segue
0 < e^tan^-1n <= e^pi/2

Passo 3

Logo o termo geral da nossa série satisfaz
0 < e^tan^-1nn^2+1 <= e^pi/2n^2+1
Além disso, para n>=1 vale n^2+1>= n^2, então
e^pi/2n^2+1 <= e^pi/2n^2

Passo 4

Portanto
0 < e^tan^-1nn^2+1 <= e^pi/2n^2
Mas sabemos que a série
sumn=1^infty e^pi/2n^2 = e^pi/2,sumn=1^infty 1n^2
é convergente, pois sum 1/n^2 é uma p-série com p=2>1.

Passo 5

Pelo teste da comparação direta, como
0 <= e^tan^-1nn^2+1 <= e^pi/2n^2
e a série sum e^pi/2/n^2 converge, conclui-se que
sumn=1^infty e^tan^-1nn^2+1
também converge.

Resposta

A série convergente pelo teste da comparação.

Exercícios relacionados