Um novo medicamento tem uma taxa de sucesso de
. Se o medicamento for administrado a 10 pacientes, qual a probabilidade de que pelo menos 8 pacientes respondam ao tratamento?
Passo 1
Vamos lá! Temos um medicamento que funciona em 80% dos casos. A pergunta é: se a gente der esse remédio para 10 pessoas, qual a chance de pelo menos 8 delas ficarem bem? Vamos usar o conteúdo de Probabilidade, mais especificamente a Distribuição Binomial. Para resolver, precisamos entender como calcular a probabilidade de eventos específicos acontecerem em várias tentativas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 10 pacientes), cada uma com dois possíveis resultados: sucesso (o paciente responde ao tratamento) ou fracasso (não responde). A probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa, que aqui é 80% ou 0,8.
Passo 3
A fórmula da Distribuição Binomial é:
Onde:
- $ n $ é o número total de tentativas (10 pacientes).
- $ k $ é o número de sucessos que queremos (8, 9 ou 10 pacientes respondendo).
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa (0,8).
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula quantas combinações diferentes existem para obter $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
Passo 4
Queremos saber a probabilidade de pelo menos 8 pacientes responderem. Isso significa calcular a probabilidade de 8, 9 ou 10 pacientes responderem e somar essas probabilidades:
Passo 5
Vamos calcular $ P(X = 8) $:
Calculando o coeficiente binomial:
Então:
Passo 6
Agora, $ P(X = 9) $:
Calculando o coeficiente binomial:
Então:
Passo 7
E por último, $ P(X = 10) $:
Calculando o coeficiente binomial:
Então:
Passo 8
Agora, somamos todas as probabilidades:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 8 pacientes respondam ao tratamento é aproximadamente 67,78%.