Um novo medicamento tem uma taxa de sucesso de 80 %. Se o medicamento for administrado a 10 pacientes, qual a probabilidade de que pelo menos 8 pacientes respondam ao tratamento?

Passo 1

Vamos lá! Temos um medicamento que funciona em 80% dos casos. A pergunta é: se a gente der esse remédio para 10 pessoas, qual a chance de pelo menos 8 delas ficarem bem? Vamos usar o conteúdo de Probabilidade, mais especificamente a Distribuição Binomial. Para resolver, precisamos entender como calcular a probabilidade de eventos específicos acontecerem em várias tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 10 pacientes), cada uma com dois possíveis resultados: sucesso (o paciente responde ao tratamento) ou fracasso (não responde). A probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa, que aqui é 80% ou 0,8.

Passo 3

A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (10 pacientes).
  • $ k $ é o número de sucessos que queremos (8, 9 ou 10 pacientes respondendo).
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa (0,8).
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula quantas combinações diferentes existem para obter $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de pelo menos 8 pacientes responderem. Isso significa calcular a probabilidade de 8, 9 ou 10 pacientes responderem e somar essas probabilidades:
P(X >= 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)

Passo 5

Vamos calcular $ P(X = 8) $:
P(X = 8)
Calculando o coeficiente binomial:
P(X = 8) = binom108 (0,8)^8 (0,2)^2
Então:
binom108 = 10!8!2! = 45

Passo 6

Agora, $ P(X = 9) $:
P(X = 9)
Calculando o coeficiente binomial:
P(X = 9) = binom109 (0,8)^9 (0,2)^1
Então:
binom109 = 10

Passo 7

E por último, $ P(X = 10) $:
P(X = 10)
Calculando o coeficiente binomial:
P(X = 10) = binom1010 (0,8)^10 (0,2)^0
Então:
binom1010 = 1

Passo 8

Agora, somamos todas as probabilidades:
P(X >= 8) approx 0,3020 + 0,2684 + 0,1074 = 0,6778

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 8 pacientes respondam ao tratamento é aproximadamente 67,78%.

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