Em uma população,
das pessoas possuem determinada doença. Em uma amostra aleatória de 15 pessoas, qual a probabilidade de que pelo menos 3 pessoas tenham a doença?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma população onde 20% das pessoas têm uma certa doença. A gente quer saber qual a chance de, em uma amostra aleatória de 15 pessoas, pelo menos 3 delas terem essa doença. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Probabilidades Binomial, que é ótimo para situações onde estamos contando o número de sucessos em uma série de tentativas independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Imagine que cada pessoa na amostra de 15 tem duas opções: ou tem a doença (sucesso) ou não tem (fracasso). A probabilidade de sucesso (ter a doença) é de 20%, ou seja, 0,2. Queremos saber a probabilidade de ter pelo menos 3 pessoas com a doença.
Passo 3
A distribuição binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas. A fórmula é:
Onde:
- $ n $ é o número total de tentativas (neste caso, 15 pessoas).
- $ k $ é o número de sucessos desejados (3, ou mais).
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,2).
Passo 4
Como queremos pelo menos 3 pessoas com a doença, isso significa que $ X \geq 3 $. Mas calcular isso direto pode ser trabalhoso, então vamos usar o seguinte truque:
Ou seja, vamos calcular a probabilidade de menos de 3 pessoas terem a doença e subtrair de 1.
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
-
$ P(X = 0) $: Nenhuma pessoa tem a doença.
-
$ P(X = 1) $: Apenas uma pessoa tem a doença.
-
$ P(X = 2) $: Duas pessoas têm a doença.
Passo 6
Agora, vamos somar essas probabilidades:
Passo 7
Finalmente, subtraímos esse valor de 1 para encontrar a probabilidade de pelo menos 3 pessoas terem a doença:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 3 pessoas, em uma amostra de 15, tenham a doença é de aproximadamente 60,26%.