Em uma população, 20 % das pessoas possuem determinada doença. Em uma amostra aleatória de 15 pessoas, qual a probabilidade de que pelo menos 3 pessoas tenham a doença?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma população onde 20% das pessoas têm uma certa doença. A gente quer saber qual a chance de, em uma amostra aleatória de 15 pessoas, pelo menos 3 delas terem essa doença. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Probabilidades Binomial, que é ótimo para situações onde estamos contando o número de sucessos em uma série de tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Imagine que cada pessoa na amostra de 15 tem duas opções: ou tem a doença (sucesso) ou não tem (fracasso). A probabilidade de sucesso (ter a doença) é de 20%, ou seja, 0,2. Queremos saber a probabilidade de ter pelo menos 3 pessoas com a doença.

Passo 3

A distribuição binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas. A fórmula é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (neste caso, 15 pessoas).
  • $ k $ é o número de sucessos desejados (3, ou mais).
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,2).

Passo 4

Como queremos pelo menos 3 pessoas com a doença, isso significa que $ X \geq 3 $. Mas calcular isso direto pode ser trabalhoso, então vamos usar o seguinte truque:
X >= 3
Ou seja, vamos calcular a probabilidade de menos de 3 pessoas terem a doença e subtrair de 1.

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. $ P(X = 0) $: Nenhuma pessoa tem a doença.
    P(X = 0)
  2. $ P(X = 1) $: Apenas uma pessoa tem a doença.
    P(X=0) = binom150 (0,2)^0 (0,8)^15 = 1 times 1 times 0,8^15 approx 0,0352
  3. $ P(X = 2) $: Duas pessoas têm a doença.
    P(X = 1)

Passo 6

Agora, vamos somar essas probabilidades:
P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) approx 0,0352 + 0,1323 + 0,2299 = 0,3974

Passo 7

Finalmente, subtraímos esse valor de 1 para encontrar a probabilidade de pelo menos 3 pessoas terem a doença:
P(X >= 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - 0,3974 = 0,6026

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 3 pessoas, em uma amostra de 15, tenham a doença é de aproximadamente 60,26%.

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