2 - Um novo processo para o tratamento de um material especial deve ser avaliado. O material, uma esfera com raio r_{0}=5 \mathrm{~mm}, encontra-se inicialmente em equilíbrio a 400^{\circ} \mathrm{C} no interior de um forno. O material é repentinamente removido do forno e submetido a um processo de resfriamento em duas etapas.
Etapa 1: Resfriamento no ar a 20^{\circ} \mathrm{C} por um período de tempo t_{a} até que a temperatura no centro da esfera atinja o valor crítico de 335^{\circ} \mathrm{C}. Para essa situação, o coeficiente de transferência de calor por convecção é igual a 10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}.
Etapa 2: Resfriamento em um banho agitado de água a 20^{\circ} \mathrm{C} por 3 s , com um coeficiente de transferência de calor por convecção igual a 1000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}.
As propriedades termofísicas do material são:
\rho=3000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{k}=20 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}; \mathrm{Cp}=1000 \mathrm{~J} / \mathrm{kgK}
a) Calcule o tempo requerido na Etapa 1 do processo.
b) Calcule a temperatura final do material se a Etapa 2 ocorre em 3 segundos.
c) Calcule a energia total transferida em cada etapa.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera de raio r_{0}=5\text{ mm} inicialmente a 400^\circ\text{C} que é resfriada por convecção em duas etapas até 20^\circ\text{C}. Na Etapa 1 o fluido é ar h=10\\ \text{W/m}^2\text{K} e na Etapa 2 é água agitada h=1000\\ \text{W/m}^2\text{K}, cada etapa com tempo distinto. As propriedades são \rho=3000\\ \text{kg/m}^3, k=20\\ \text{W/mK}, C_p=1000\\ \text{J/kgK}.
Conteúdo: transferência de calor por convecção e modelo de capacitância lumped (válido se \mathrm{Bi}<0{,}1). Vamos calcular massa térmica, área, números de Bi, constantes de tempo e usar
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\exp\Bigl(-\frac{hA}{\rho V C_p}\,t\Bigr).

Passo 2

Calculamos o volume, massa e área da esfera:
V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi(5\times10^{-3})^3\approx5{,}236\times10^{-7}\,\text{m}^3,
m=\rho V=3000\cdot5{,}236\times10^{-7}\approx1{,}571\times10^{-3}\,\text{kg},
A=4\pi r^2=4\pi(5\times10^{-3})^2\approx3{,}142\times10^{-4}\,\text{m}^2,
mC_p=1{,}571\times10^{-3}\cdot1000=1{,}571\\ \text{J/K}.
O número de Bi na Etapa 1 é
\mathrm{Bi}=\frac{h\,L_c}{k}\quad\text{com}\quad L_c=\frac{V}{A}=\frac{r}{3}\approx1{,}667\times10^{-3}\text{ m},
\mathrm{Bi}=\frac{10\cdot1{,}667\times10^{-3}}{20}=8{,}33\times10^{-4}<0{,}1,
logo o modelo lumped vale. A constante de tempo é
\tau_1=\frac{mC_p}{hA}=\frac{1{,}571}{10\cdot3{,}142\times10^{-4}}\approx500\\ \text{s}.
Queremos T(t_a)=335^\circ\text{C}, então
\frac{335-20}{400-20}=\exp\!\bigl(-t_a/\tau_1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad t_a=-\tau_1\ln\frac{315}{380}\approx500\cdot0{,}1875\approx93{,}8\\ \text{s}.

Passo 3

Na Etapa 2, com h=1000\\ \text{W/m}^2\text{K},
\mathrm{Bi}_2=\frac{1000\cdot1{,}667\times10^{-3}}{20}=0{,}0833<0{,}1,
\tau_2=\frac{mC_p}{hA}=\frac{1{,}571}{1000\cdot3{,}142\times10^{-4}}\approx5{,}00\\ \text{s}.
Aplicando o modelo lumped por t=3\\ \text{s} partindo de T_i=335^\circ\text{C}:
\frac{T_f-20}{335-20}=\exp\!\bigl(-3/5\bigr)=e^{-0{,}6}\approx0{,}5488 \quad\Longrightarrow\quad T_f=20+0{,}5488\cdot315\approx192{,}1^\circ\text{C}.

Passo 4

A energia trocada em cada etapa é
Q=mC_p\,(T_{\text{inicial}}-T_{\text{final}}).
Etapa 1: \Delta T_1=400-335=65^\circ,
Q_1=1{,}571\cdot65\approx102{,}1\\ \text{J}.
Etapa 2: \Delta T_2=335-192{,}1=142{,}9^\circ,
Q_2=1{,}571\cdot142{,}9\approx224{,}5\\ \text{J}.

Resposta

a) t_a\approx93{,}8\\ \text{s}
b) T_f\approx192{,}1^\circ\text{C}
c) Q_1\approx102{,}1\\ \text{J},\quad Q_2\approx224{,}5\\ \text{J}.

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