1 - Um painel em liga de alumínio com 3 mm de espessura (
\mathrm{k}=177 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, \mathrm{Cp}=875 \mathrm{J} / \mathrm{kgK} e \rho=2770 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) é revestido de ambos os lados com uma camada epóxi, que deve ser curada a uma temperatura igual ou superior a 150^{\circ} \mathrm{C} por 5 min . A linha de produção para essa operação de cura envolve duas etapas:
Etapa 1: Aquecimento em grande forno com ar a 175^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente de transferência de calor por convecção é igual a 40 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}.
Etapa 2: Resfriamento em uma grande câmara com ar a 25^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente de transferência de calor por convecção igual a 10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}.
Se o painel for colocado no interior do forno a uma temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C} e removido da câmara a uma temperatura de 37^{\circ} \mathrm{C}, qual o tempo total gasto nas duas etapas de operação? Considere a resistência térmica condutiva do epóxi desprezível.

Passo 1

O enunciado nos dá um painel de alumínio de espessura L=3\text{ mm} cujas propriedades são
k=177\\ \mathrm{W/mK},\quad c_p=875\\ \mathrm{J/kgK},\quad \rho=2770\\ \mathrm{kg/m^3}
Ele é inicialmente a 25^\circ\mathrm{C}, é aquecido em ar a 175^\circ\mathrm{C} com h_1=40\\ \mathrm{W/m^2K} até que a sua temperatura atinja 150^\circ\mathrm{C}, mantido aí por 5 min e depois resfriado em ar a 25^\circ\mathrm{C} com h_2=10\\ \mathrm{W/m^2K} até 37^\circ\mathrm{C}.
Conteúdo: transiente de troca de calor com convecção, modelo de capacitância concentrada.

Passo 2

Verificamos o critério de Biot para usar o modelo de capacitância concentrada:
\mathrm{Bi}=\frac{h\,L_c}{k},\quad L_c=\frac{L}{2}=0{,}0015\\ \mathrm m.
Para h_1=40:
\mathrm{Bi}_1=\frac{40\times0{,}0015}{177}\approx3{,}4\times10^{-4}\ll0{,}1,
logo o painel é praticamente isotérmico internamente e podemos usar
T(t)=T_\infty+(T_i-T_\infty)\,\exp\Bigl(-\frac{t}{\tau}\Bigr),
com \tau=\frac{\rho\,c_p\,L}{h}.

Passo 3

Calculamos a constante de tempo na etapa de aquecimento:
\tau_1=\frac{\rho\,c_p\,L}{h_1} =\frac{2770\times875\times0{,}003}{40}\approx181{,}8\\ \mathrm s.

Passo 4

Tempo para aquecer de T_i=25^\circ\mathrm{C} até T=150^\circ\mathrm{C} no forno T_\infty=175^\circ\mathrm{C}:
\frac{T-175}{25-175}=\exp\Bigl(-\frac{t_1}{\tau_1}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{150-175}{25-175}=\frac{-25}{-150}=0{,}1667,
t_1=-\tau_1\ln(0{,}1667)\approx181{,}8\times1{,}7918\approx325{,}8\\ \mathrm s\approx5{,}43\\ \mathrm{min}.

Passo 5

Somamos o tempo de cura de 5 min ( 300 s):
t_{\text{cura}}=300\\ \mathrm s.

Passo 6

Constante de tempo na etapa de resfriamento:
\tau_2=\frac{\rho\,c_p\,L}{h_2} =\frac{2770\times875\times0{,}003}{10}\approx727{,}1\\ \mathrm s.

Passo 7

Tempo para resfriar de 150^\circ\mathrm{C} até 37^\circ\mathrm{C} na câmara T_\infty=25^\circ\mathrm{C}:
\frac{37-25}{150-25}=\frac{12}{125}=0{,}096, \quad 0{,}096=\exp\Bigl(-\frac{t_2}{\tau_2}\Bigr)
t_2=-\tau_2\ln(0{,}096)\approx727{,}1\times2{,}3418\approx1703{,}0\\ \mathrm s\approx28{,}38\\ \mathrm{min}.

Passo 8

Tempo total das duas etapas:
t_{\text{total}}=t_1 + t_{\text{cura}} + t_2 \approx325{,}8 + 300 + 1703{,}0 = 2328{,}8\\ \mathrm s\approx38{,}8\\ \mathrm{min}.

Resposta

O tempo total gasto nas duas etapas é aproximadamente 38{,}8 minutos.

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