Em um teste de resistência à compressão, 20 corpos de prova são moldados com o mesmo tipo de concreto. A probabilidade de um corpo de prova resistir à carga mínima especificada é de 0,95 . Modelando X como o número de corpos de prova aprovados:
(a) Qual é a distribuição de X ?
(b) Calcule a probabilidade de exatamente 18 corpos de prova serem aprovados;

Passo 1

O enunciado diz que temos n=20 corpos de prova independentes, cada um com probabilidade p=0,95 de ser aprovado na resistência à compressão. Definimos X como o número de corpos de prova aprovados. O conteúdo usado aqui é a Distribuição Binomial.

Passo 2

Quando temos n ensaios independentes de Bernoulli (sucesso/falha) com mesma probabilidade de sucesso p, o número total de sucessos X segue uma distribuição Binomial. Portanto,
X \sim \mathrm{Binomial}(n=20,\,p=0,95).

Passo 3

A probabilidade de exatamente k sucessos em uma Binomial \mathrm{Binomial}(n,p) é
P(X=k) \;=\; \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Para k=18, n=20 e p=0,95, temos
P(X=18) \;=\;\binom{20}{18}\,(0,95)^{18}\,(0,05)^{2}.

Passo 4

Calculando passo a passo: \binom{20}{18}=190.
Logo,
P(X=18)=190\times(0,95)^{18}\times(0,05)^{2}\approx0,189.

Resposta

(a) X\sim\mathrm{Binomial}(20,0,95).
(b) P(X=18)=\binom{20}{18}(0,95)^{18}(0,05)^{2}\approx0,189.

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