( 2,0 pontos) Resolva a equação diferencial exata abaixo,
x \frac{d y}{d x}+(3 x+1) y=e^{-3 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação
x\frac{dy}{dx} + (3x+1)y = e^{-3x},
que é uma EDO de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
identificar P(x) e Q(x), e então usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo tudo por x (supondo x\neq0), obtemos
\frac{dy}{dx} + \Bigl(3 + \tfrac{1}{x}\Bigr)y = \frac{1}{x}e^{-3x}.
Aqui P(x)=3 + \tfrac1x e Q(x)=\tfrac{1}{x}e^{-3x}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int (3 + \tfrac1x)\,dx\Bigr) = \exp(3x + \ln x) = x\,e^{3x}.

Passo 4

Multiplicando a equação em forma padrão por \mu(x), o lado esquerdo vira a derivada de \mu(x)\,y:
\frac{d}{dx}\bigl(x e^{3x}y\bigr) = \frac{1}{x}e^{-3x}\cdot x e^{3x} = 1.
Integrando ambos os lados em relação a x:
x e^{3x}y = \int 1\,dx = x + C.
Isolando y:
y = \frac{x + C}{x e^{3x}} = e^{-3x} + \frac{C}{x}\,e^{-3x}.

Resposta

y(x) = e^{-3x} + C\,x^{-1}e^{-3x}.

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