(2,0 pontos) Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo
, onde
e
é a superfície da semi-esfcta
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície
da semicúpula
. Vamos aplicar o Teorema de Gauss (ou Divergência), que transforma um fluxo sobre superfície fechada num integral de volume da divergência de
.
Passo 2
Para usar Gauss, fechamos a superfície da semicúpula
juntando-a ao disco
em
. Denotemos por
o sólido da meia-esfera. O Teorema de Gauss diz:
onde
e
é o vetor normal apontando para fora de
.
Passo 3
Calculemos a divergência de
:
Passo 4
O integral de volume fica
Em coordenadas esféricas
,
,
temos
e
. Então
Passo 5
Precisamos subtrair o fluxo através do disco
. Sobre
temos
,
e o normal externo a
é
. Assim
logo o fluxo pelo disco é zero.
Passo 6
Pelo Teorema de Gauss,