(2,0 pontos) Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo \iint_{S} F d s, onde F=\left(x^{3}, y^{3}, z^{3}\right) e S é a superfície da semi-esfcta z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}=(x^3,y^3,z^3) através da superfície S da semicúpula z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}. Vamos aplicar o Teorema de Gauss (ou Divergência), que transforma um fluxo sobre superfície fechada num integral de volume da divergência de \mathbf{F}.

Passo 2

Para usar Gauss, fechamos a superfície da semicúpula S juntando-a ao disco D\colon x^2+y^2\le a^2 em z=0. Denotemos por E o sólido da meia-esfera. O Teorema de Gauss diz:
\iint_{\partial E}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \;=\;\iiint_{E}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV,
onde \partial E=S\cup D e \mathbf{n} é o vetor normal apontando para fora de E.

Passo 3

Calculemos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^3) +\frac{\partial}{\partial y}(y^3) +\frac{\partial}{\partial z}(z^3) =3x^2+3y^2+3z^2 =3(x^2+y^2+z^2).

Passo 4

O integral de volume fica
\iiint_{E}3(x^2+y^2+z^2)\,dV.
Em coordenadas esféricas r\in[0,a], \varphi\in[0,\tfrac\pi2], \theta\in[0,2\pi] temos x^2+y^2+z^2=r^2 e dV=r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta. Então
\iiint_{E}3r^2\,dV =3\int_{0}^{2\pi}\!\!d\theta \int_{0}^{\pi/2}\!\!\sin\varphi\,d\varphi \int_{0}^{a}r^4\,dr =3\,(2\pi)\,(1)\,\frac{a^5}{5} =\frac{6\pi\,a^5}{5}.

Passo 5

Precisamos subtrair o fluxo através do disco D. Sobre D temos z=0, \mathbf{F}=(x^3,y^3,0) e o normal externo a E é \mathbf{n}=-\mathbf{k}. Assim
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} =(x^3,y^3,0)\cdot(0,0,-1)=0,
logo o fluxo pelo disco é zero.

Passo 6

Pelo Teorema de Gauss,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{E}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV -\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\frac{6\pi\,a^5}{5}-0 =\frac{6\pi\,a^5}{5}.

Resposta

\frac{6\pi\,a^5}{5}.

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