Uma professora fez uma pesquisa sobre as quantidades de livros lidos por seus alunos durante o último ano.
Responderam à pesquisa 14 estudantes e as frequências de cada resposta estão representadas na tabela abaixo.
Resposta 2 3 5 7 8 9 10 11
Frequência 1 2 x 1 1 y 2 2
Sabendo que a mediana desse conjunto de dados é 7,5 , assinale a opção que tem os valores de x e y, respectivamente.
(A) 1 e 3
(B) 2 e 2
© 3 e 3
(D) 2 e 3
(E) 3 e 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta que uma professora pesquisou quantos livros seus 14 alunos leram no último ano. A tabela mostra quantos alunos responderam cada número de livros, mas tem duas incógnitas, x e y. A gente sabe que a mediana desse conjunto de dados é 7,5. Vou te mostrar como descobrir os valores de x e y para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a mediana. A mediana é o valor que fica no meio quando os dados estão ordenados. Como temos 14 alunos, que é um número par, a mediana será a média dos 7º e 8º valores.

Passo 3

Vamos organizar os dados em ordem crescente, considerando as frequências:
  • 2 livros: 1 aluno
  • 3 livros: 2 alunos
  • 5 livros: x alunos
  • 7 livros: 1 aluno
  • 8 livros: 1 aluno
  • 9 livros: y alunos
  • 10 livros: 2 alunos
  • 11 livros: 2 alunos

Passo 4

Agora, vamos somar as frequências para encontrar a posição dos 7º e 8º alunos:
  • Até 2 livros: 1 aluno
  • Até 3 livros: 1 + 2 = 3 alunos
  • Até 5 livros: 3 + x alunos
  • Até 7 livros: 3 + x + 1 = 4 + x alunos
  • Até 8 livros: 4 + x + 1 = 5 + x alunos
  • Até 9 livros: 5 + x + y alunos
  • Até 10 livros: 5 + x + y + 2 = 7 + x + y alunos
  • Até 11 livros: 7 + x + y + 2 = 9 + x + y alunos

Passo 5

Sabemos que o total de alunos é 14, então:
9 + x + y = 14
Isso significa que x + y = 5

Passo 6

Queremos que a mediana seja 7,5, então os 7º e 8º alunos devem estar na posição 7 e 8, respectivamente. Isso significa que:
4 + x precisa ser menor que ou igual a 7 e 5 + x precisa ser maior ou igual a 8

Passo 7

Resolvendo as desigualdades:
4 + x ≤ 7 → x ≤ 3
5 + x ≥ 8 → x ≥ 3
Então, x = 3

Passo 8

Agora que temos x = 3, podemos encontrar y:
x + y = 5 → 3 + y = 5 → y = 2

Resposta

A opção correta é (E) 3 e 2

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