O número de acessos diários a um site, em milhões, após t meses, segue a função: N(t)=A * 2^t+B * 5^t onde A e B são constantes a serem determinadas. Os valores conhecidos são:
No instante t=0, o número de acessos era 6 milhões. Após 1 mês ( t=1 ), o número de acessos era 16 milhões. Após 2 meses ( t=2 ), o número de acessos era 46 milhões.
a) O que acontece com N(t) quando t -> ∞ ?
b) Se o termo 5^t fosse removido, como isso afetaria o crescimento da função?
a) O que acontece com N(t) quando t -> ∞ ?
b) Se o termo 5^t fosse removido, como isso afetaria o crescimento da função?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função que descreve o número de acessos diários a um site, em milhões, após
meses:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar. Sabemos que:
- Quando
, milhões. - Quando
, milhões. - Quando
, milhões.
Vamos precisar usar essas informações para determinar
e
e depois responder às perguntas sobre o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos usar os valores conhecidos para montar um sistema de equações e encontrar
e
.
Quando
:
Quando
:
Quando
:
Passo 3
Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
. Podemos começar isolando uma das variáveis na Equação 1. Vamos isolar
:
Agora, substituímos
na Equação 2:
Agora que temos
, podemos encontrar
usando
:
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos reescrever a função
:
Com essa expressão, podemos responder às perguntas do problema.
Passo 5
a) O que acontece com
quando
?
Quando analisamos o comportamento de
conforme
cresce indefinidamente, precisamos ver qual termo na função cresce mais rápido. Temos dois termos exponenciais:
Sabemos que, para bases maiores, a função exponencial cresce mais rapidamente. Aqui,
cresce muito mais rápido que
. Portanto, conforme
, o termo
domina a função.
Assim,
tende a infinito, ou seja:
Passo 6
b) Se o termo
fosse removido, como isso afetaria o crescimento da função?
Se removêssemos o termo
, a função ficaria:
Agora, temos apenas um termo exponencial com base 2. Comparado com a função original que tinha um termo com base 5, a taxa de crescimento da função reduz drasticamente. Enquanto
cresce muito rápido,
cresce mais devagar.
Portanto, sem o termo
, a função
ainda cresce exponencialmente, mas com uma taxa de crescimento menor. O número de acessos aumentaria, mas não tão rapidamente quanto na função original.
Resposta
a) Quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito.
b) Sem o termo
, a função
ainda cresce exponencialmente, mas de forma mais lenta, já que a taxa de crescimento é determinada apenas pelo termo
.