O número de acessos diários a um site, em milhões, após t meses, segue a função: N(t)=A * 2^t+B * 5^t onde A e B são constantes a serem determinadas. Os valores conhecidos são:
No instante t=0, o número de acessos era 6 milhões. Após 1 mês ( t=1 ), o número de acessos era 16 milhões. Após 2 meses ( t=2 ), o número de acessos era 46 milhões.
a) O que acontece com N(t) quando t -> ∞ ?
b) Se o termo 5^t fosse removido, como isso afetaria o crescimento da função?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função que descreve o número de acessos diários a um site, em milhões, após t meses:
N(t) = A cdot 2^t + B cdot 5^t
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar. Sabemos que:
  • Quando t = 0 , N(0) = 6 milhões.
  • Quando t = 1 , N(1) = 16 milhões.
  • Quando t = 2 , N(2) = 46 milhões.
Vamos precisar usar essas informações para determinar A e B e depois responder às perguntas sobre o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos usar os valores conhecidos para montar um sistema de equações e encontrar A e B .
Quando t = 0 :
N(0) = A cdot 2^0 + B cdot 5^0
6 = A cdot 1 + B cdot 1
6 = A + B (Equação 1) çã
Quando t = 1 :
N(1) = A cdot 2^1 + B cdot 5^1
16 = A cdot 2 + B cdot 5
16 = 2A + 5B (Equação 2) çã
Quando t = 2 :
N(2) = A cdot 2^2 + B cdot 5^2
46 = A cdot 4 + B cdot 25
46 = 4A + 25B (Equação 3) çã

Passo 3

Agora, temos um sistema de três equações:
  1. A + B = 6
  2. 2A + 5B = 16
  3. 4A + 25B = 46
Vamos resolver esse sistema para encontrar A e B . Podemos começar isolando uma das variáveis na Equação 1. Vamos isolar A :
A = 6 - B
Agora, substituímos A na Equação 2:
2(6 - B) + 5B = 16
12 - 2B + 5B = 16
12 + 3B = 16
3B = 16 - 12
3B = 4
B = 43
Agora que temos B = 43 , podemos encontrar A usando A = 6 - B :
A = 6 - 43
A = 183 - 43
A = 143

Passo 4

Agora que temos A = 143 e B = 43 , podemos reescrever a função N(t) :
N(t) = 143 cdot 2^t + 43 cdot 5^t
Com essa expressão, podemos responder às perguntas do problema.

Passo 5

a) O que acontece com N(t) quando t to infty ?
Quando analisamos o comportamento de N(t) conforme t cresce indefinidamente, precisamos ver qual termo na função cresce mais rápido. Temos dois termos exponenciais:
  1. 2^t
  2. 5^t
Sabemos que, para bases maiores, a função exponencial cresce mais rapidamente. Aqui, 5^t cresce muito mais rápido que 2^t . Portanto, conforme t to infty , o termo 43 cdot 5^t domina a função.
Assim, N(t) tende a infinito, ou seja:
limt to infty N(t) = infty

Passo 6

b) Se o termo 5^t fosse removido, como isso afetaria o crescimento da função?
Se removêssemos o termo 43 cdot 5^t , a função ficaria:
N(t) = 143 cdot 2^t
Agora, temos apenas um termo exponencial com base 2. Comparado com a função original que tinha um termo com base 5, a taxa de crescimento da função reduz drasticamente. Enquanto 5^t cresce muito rápido, 2^t cresce mais devagar.
Portanto, sem o termo 5^t , a função N(t) ainda cresce exponencialmente, mas com uma taxa de crescimento menor. O número de acessos aumentaria, mas não tão rapidamente quanto na função original.

Resposta

a) Quando t tende ao infinito, N(t) também tende ao infinito.
b) Sem o termo 5^t , a função N(t) ainda cresce exponencialmente, mas de forma mais lenta, já que a taxa de crescimento é determinada apenas pelo termo 2^t .

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