O número de acidentes que ocorrem em certa fábrica em uma semana é uma variável aleatória com média \mu e variância \sigma^{2}. Os números de indivíduos feridos nos diferentes acidentes são independentes e identicamente distribuídos com média \xi e variância \tau^{2}, e são independentes do número de acidentes. Determine a média e a variância do número de indivíduos feridos em uma semana.

Passo 1

O enunciado pede a média e a variância do número total de indivíduos feridos em uma semana. As informações dadas são:
  • O número de acidentes em uma semana é a variável aleatória \,N, com média \mu e variância \sigma^{2}.
  • Para cada acidente há um número de feridos; esses números são variáveis iid \,X_{1},X_{2},\dots, com média \xi e variância \tau^{2}.
  • Os \,X_{i}, são independentes entre si e independentes de \,N,.
  • O número total de feridos na semana é a soma dos feridos em cada acidente; definimos a variável
S=\sum_{i=1}^{N} X_{i},
com a convenção natural de que se N=0 então S=0.
Objetivo: calcular \mathbb{E}[S] e \mathrm{Var}(S).

Passo 2

Vamos primeiro achar \mathbb{E}[S\mid N], a esperança condicional de S dado N.
Explicação da ideia: condicionalmente a N=n, temos exatamente uma soma de n variáveis iid X_{1},\dots,X_{n}. A esperança da soma é a soma das esperanças (linearidade da esperança). Assim, para cada n,
\mathbb{E}\big[S\mid N=n\big]=n\cdot \xi.
Escrevendo isso de forma condicional (sem fixar n),
\mathbb{E}[S\mid N]=N\cdot \xi.
Aqui \xi é constante (a média de cada X_i), e N é a variável condicional.

Passo 3

Agora usamos a lei da esperança total (também chamada de expectativa iterada): \mathbb{E}[S]=\mathbb{E}\big[\mathbb{E}[S\mid N]\big].
Aplicando o resultado do passo anterior,
\mathbb{E}[S]=\mathbb{E}[N\cdot \xi]=\xi\cdot \mathbb{E}[N].
Pelo enunciado \mathbb{E}[N]=\mu, portanto
\mathbb{E}[S]=\xi\,\mu.
Breve interpretação: em média ocorrem \mu acidentes e, em cada acidente, espera-se \xi feridos, então em média o total é \xi\mu.

Passo 4

Vamos calcular a variância condicional \mathrm{Var}(S\mid N).
Explicação da ideia: condicionalmente a N=n, S é soma de n variáveis independentes X_i. A variância da soma de variáveis independentes é a soma das variâncias. Portanto, para cada n,
\mathrm{Var}\big(S\mid N=n\big)=n\cdot \tau^{2}.
Escrevendo condicionalmente,
\mathrm{Var}(S\mid N)=N\cdot \tau^{2}.
Observação: se N=0 então essa expressão dá 0, como deve ser.

Passo 5

Usamos agora a fórmula da variância total (lei da variância condicionada):
\mathrm{Var}(S)=\mathbb{E}\big[\mathrm{Var}(S\mid N)\big]+\mathrm{Var}\big(\mathbb{E}[S\mid N]\big).
Explicação do que cada termo representa:
  • \mathbb{E}[\mathrm{Var}(S\mid N)] é a contribuição média à variabilidade de S vinda da variabilidade interna de cada acidente (isto é, dos X_i), mantendo N fixo e depois fazendo a média sobre N.
  • \mathrm{Var}(\mathbb{E}[S\mid N]) é a variabilidade causada pelo número variável de acidentes N, já que a média condicional \mathbb{E}[S\mid N]=N\xi muda conforme N.

Passo 6

Avaliação dos termos usando os resultados anteriores.
Primeiro termo:
\mathbb{E}\big[\mathrm{Var}(S\mid N)\big]=\mathbb{E}[N\cdot \tau^{2}]=\tau^{2}\cdot \mathbb{E}[N]=\tau^{2}\mu.
Segundo termo:
\mathrm{Var}\big(\mathbb{E}[S\mid N]\big)=\mathrm{Var}(N\cdot \xi)=\xi^{2}\cdot \mathrm{Var}(N)=\xi^{2}\sigma^{2}.
Aqui usamos que multiplicar uma variável aleatória por constante c multiplica a variância por c^{2}.
Somando os dois termos pela fórmula da variância total, obtemos
\mathrm{Var}(S)=\tau^{2}\mu+\xi^{2}\sigma^{2}.

Passo 7

Interpretação final e sanity check rápido (para te deixar mais confiante):
  • Se \sigma^{2}=0 (ou seja, N é determinístico igual a \mu), então \mathrm{Var}(S)=\tau^{2}\mu, que é a variância de soma de \mu variáveis iid — faz sentido.
  • Se \tau^{2}=0 (cada acidente tem sempre \xi feridos), então \mathrm{Var}(S)=\xi^{2}\sigma^{2}, que é a variabilidade só devido ao número aleatório de acidentes — também faz sentido.
Vai dar tudo certo na prova — lembra esses dois termos: um vem da variabilidade dentro dos acidentes ( \tau^{2}\mu) e outro vem da variabilidade do número de acidentes ( \xi^{2}\sigma^{2}).

Resposta

\mathbb{E}[S]=\xi\,\mu\n
\mathrm{Var}(S)=\tau^{2}\mu+\xi^{2}\sigma^{2}

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