O número de acidentes que ocorrem em certa fábrica em uma semana é uma variável aleatória com média
e variância
. Os números de indivíduos feridos nos diferentes acidentes são independentes e identicamente distribuídos com média
e variância
, e são independentes do número de acidentes. Determine a média e a variância do número de indivíduos feridos em uma semana.
Passo 1
O enunciado pede a média e a variância do número total de indivíduos feridos em uma semana. As informações dadas são:
- O número de acidentes em uma semana é a variável aleatória
, com média e variância . - Para cada acidente há um número de feridos; esses números são variáveis iid
, com média e variância . - Os
, são independentes entre si e independentes de ,. - O número total de feridos na semana é a soma dos feridos em cada acidente; definimos a variável
com a convenção natural de que se
então
.
Objetivo: calcular
e
.
Passo 2
Vamos primeiro achar
, a esperança condicional de
dado
.
Explicação da ideia: condicionalmente a
, temos exatamente uma soma de
variáveis iid
. A esperança da soma é a soma das esperanças (linearidade da esperança). Assim, para cada
,
Escrevendo isso de forma condicional (sem fixar
),
Aqui
é constante (a média de cada
), e
é a variável condicional.
Passo 3
Agora usamos a lei da esperança total (também chamada de expectativa iterada):
.
Aplicando o resultado do passo anterior,
Pelo enunciado
, portanto
Breve interpretação: em média ocorrem
acidentes e, em cada acidente, espera-se
feridos, então em média o total é
.
Passo 4
Vamos calcular a variância condicional
.
Explicação da ideia: condicionalmente a
,
é soma de
variáveis independentes
. A variância da soma de variáveis independentes é a soma das variâncias. Portanto, para cada
,
Escrevendo condicionalmente,
Observação: se
então essa expressão dá
, como deve ser.
Passo 5
Usamos agora a fórmula da variância total (lei da variância condicionada):
Explicação do que cada termo representa:
-
é a contribuição média à variabilidade de vinda da variabilidade interna de cada acidente (isto é, dos ), mantendo fixo e depois fazendo a média sobre . -
é a variabilidade causada pelo número variável de acidentes , já que a média condicional muda conforme .
Passo 6
Avaliação dos termos usando os resultados anteriores.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Aqui usamos que multiplicar uma variável aleatória por constante
multiplica a variância por
.
Somando os dois termos pela fórmula da variância total, obtemos
Passo 7
Interpretação final e sanity check rápido (para te deixar mais confiante):
- Se
(ou seja, é determinístico igual a ), então , que é a variância de soma de variáveis iid — faz sentido. - Se
(cada acidente tem sempre feridos), então , que é a variabilidade só devido ao número aleatório de acidentes — também faz sentido.
Vai dar tudo certo na prova — lembra esses dois termos: um vem da variabilidade dentro dos acidentes (
) e outro vem da variabilidade do número de acidentes (
).