Seleciona-se ao acaso um número entre 0 e 1 . Se
é o número selecionado, lançase n vezes (independentemente) uma moeda com probabilidade "
" de dar cara. Seja
a variável aleatória que representa o número de caras obtidas. Calcule a esperança e a variância de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a esperança e a variância da variável aleatória
. As informações relevantes que o enunciado dá são:
- Seleciona-se ao acaso um número
entre 0 e 1 (ou seja, é uma variável aleatória com suporte em ; vamos assumir que a seleção é uniforme em ). - Dado o valor
, realiza-se lançamentos independentes de uma moeda cuja probabilidade de dar cara é . -
é o número de caras obtidas nesses lançamentos.
Informações decorrentes que vamos usar mais adiante (ainda sem desenvolver):
- Condicionalmente a
, a variável tem distribuição binomial com parâmetros e : . - A questão pede a esperança
e a variância da distribuição marginal de (isto é, sem condicionar em ).
Passo 2
Vamos começar calculando a esperança usando a ideia de esperança condicional (lei da esperança total). Primeiro lembrando uma propriedade do binomial: se
, então a esperança é
Aplicando isso ao caso condicional, para cada
temos
A lei da esperança total diz que
Substituindo
obtemos
Como
foi escolhido uniformemente em
, sua esperança é
Portanto
Passo 3
Agora vamos calcular a variância. Usaremos a decomposição (lei da variância total)
Essa fórmula tem uma intuição simples: a variabilidade total de
vem da variabilidade interna a cada valor de
(primeiro termo) mais a variabilidade do valor médio condicional quando
muda (segundo termo). Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 4
Primeiro termo:
.
Para
sabemos que
Assim, condicionalmente,
Então
Já temos
. Calculamos
Portanto
Passo 5
Segundo termo:
.
Temos
. Logo
Calculamos
usando
. Substituindo os valores já obtidos:
Portanto
Passo 6
Agora somamos os dois termos da lei da variância total:
Vamos simplificar essa expressão colocando em um denominador comum
:
Passo 7
Pequena checagem de coerência para dar confiança: se
a fórmula dá
o que bate com o fato de que para
temos uma mistura de Bernoulli com parâmetro médio
, cuja variância marginal é
. Tudo coerente.