Seleciona-se ao acaso um número entre 0 e 1 . Se x é o número selecionado, lançase n vezes (independentemente) uma moeda com probabilidade " x " de dar cara. Seja Y a variável aleatória que representa o número de caras obtidas. Calcule a esperança e a variância de Y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a esperança e a variância da variável aleatória Y. As informações relevantes que o enunciado dá são:
  • Seleciona-se ao acaso um número x entre 0 e 1 (ou seja, X é uma variável aleatória com suporte em [0,1]; vamos assumir que a seleção é uniforme em [0,1]).
  • Dado o valor x, realiza-se n lançamentos independentes de uma moeda cuja probabilidade de dar cara é x.
  • Y é o número de caras obtidas nesses n lançamentos.
Informações decorrentes que vamos usar mais adiante (ainda sem desenvolver):
  • Condicionalmente a X=x, a variável Y tem distribuição binomial com parâmetros n e x: Y\mid X=x \sim \text{Binomial}(n,x).
  • A questão pede a esperança \mathbb{E}[Y] e a variância \operatorname{Var}(Y) da distribuição marginal de Y (isto é, sem condicionar em x).

Passo 2

Vamos começar calculando a esperança usando a ideia de esperança condicional (lei da esperança total). Primeiro lembrando uma propriedade do binomial: se Z \sim \text{Binomial}(n,p), então a esperança é
\mathbb{E}[Z]=np.
Aplicando isso ao caso condicional, para cada x temos
\mathbb{E}[Y\mid X=x]=n x.
A lei da esperança total diz que
\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}\big[\mathbb{E}[Y\mid X]\big].
Substituindo \mathbb{E}[Y\mid X]=nX obtemos
\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[nX]=n\,\mathbb{E}[X].
Como X foi escolhido uniformemente em [0,1], sua esperança é
\mathbb{E}[X]=\int_{0}^{1} x\,dx=\left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}.
Portanto
\mathbb{E}[Y]=n\cdot \tfrac{1}{2}=\tfrac{n}{2}.

Passo 3

Agora vamos calcular a variância. Usaremos a decomposição (lei da variância total)
\operatorname{Var}(Y)=\mathbb{E}\big[\operatorname{Var}(Y\mid X)\big]+\operatorname{Var}\big(\mathbb{E}[Y\mid X]\big).
Essa fórmula tem uma intuição simples: a variabilidade total de Y vem da variabilidade interna a cada valor de X (primeiro termo) mais a variabilidade do valor médio condicional quando X muda (segundo termo). Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Primeiro termo: \mathbb{E}[\operatorname{Var}(Y\mid X)].
Para Z\sim\text{Binomial}(n,p) sabemos que
\operatorname{Var}(Z)=n p(1-p).
Assim, condicionalmente,
\operatorname{Var}(Y\mid X=x)=n x(1-x).
Então
\mathbb{E}\big[\operatorname{Var}(Y\mid X)\big]=\mathbb{E}\big[n X(1-X)\big]=n\;\mathbb{E}\big[X - X^{2}\big]=n\big(\mathbb{E}[X]-\mathbb{E}[X^{2}]\big).
Já temos \mathbb{E}[X]=\tfrac{1}{2}. Calculamos
\mathbb{E}[X^{2}]=\int_{0}^{1} x^{2}\,dx=\left[\tfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{3}.
Portanto
\mathbb{E}\big[\operatorname{Var}(Y\mid X)\big]=n\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\right)=n\cdot \tfrac{1}{6}=\tfrac{n}{6}.

Passo 5

Segundo termo: \operatorname{Var}\big(\mathbb{E}[Y\mid X]\big).
Temos \mathbb{E}[Y\mid X]=nX. Logo
\operatorname{Var}\big(\mathbb{E}[Y\mid X]\big)=\operatorname{Var}(nX)=n^{2}\operatorname{Var}(X).
Calculamos \operatorname{Var}(X) usando \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-(\mathbb{E}[X])^{2}. Substituindo os valores já obtidos:
\operatorname{Var}(X)=\tfrac{1}{3}-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{12}.
Portanto
\operatorname{Var}\big(\mathbb{E}[Y\mid X]\big)=n^{2}\cdot \tfrac{1}{12}=\tfrac{n^{2}}{12}.

Passo 6

Agora somamos os dois termos da lei da variância total:
\operatorname{Var}(Y)=\tfrac{n}{6}+\tfrac{n^{2}}{12}.
Vamos simplificar essa expressão colocando em um denominador comum 12:
\operatorname{Var}(Y)=\frac{2n}{12}+\frac{n^{2}}{12}=\frac{n^{2}+2n}{12}=\frac{n(n+2)}{12}.

Passo 7

Pequena checagem de coerência para dar confiança: se n=1 a fórmula dá
\operatorname{Var}(Y)=\frac{1\cdot(1+2)}{12}=\frac{3}{12}=\tfrac{1}{4},
o que bate com o fato de que para n=1 temos uma mistura de Bernoulli com parâmetro médio \tfrac{1}{2}, cuja variância marginal é \tfrac{1}{2}(1-\tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{4}. Tudo coerente.

Resposta

\mathbb{E}[Y]=\dfrac{n}{2}
\operatorname{Var}(Y)=\dfrac{n(n+2)}{12}

Exercícios relacionados