0 número de acidentes de trânsito por semana em uma cidade segue Poisson ( \lambda=2 ).
  1. Qual a probabilidade de ocorrer exatamente 3 acidentes em uma semana?
  2. Assumindo semanas independentes, qual a probabilidade de não ocorrer nenhum

acidente em duas semanas?

Passo 1

O enunciado dá que o número de acidentes por semana segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=2. São feitas duas perguntas:
  1. Qual a probabilidade de ocorrer exatamente 3 acidentes em uma semana?
  2. Assumindo semanas independentes, qual a probabilidade de não ocorrer nenhum acidente em duas semanas?
    Informações relevantes: \lambda=2 é a média (e variância) do número de acidentes por semana; semanas são independentes.

Passo 2

Apresento a fórmula básica da distribuição de Poisson (a ferramenta que precisamos). Se X segue Poisson com parâmetro \lambda, então a probabilidade de observar exatamente k eventos é dada por
P(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}.
Explicando cada símbolo:
  • \lambda é a taxa média de eventos no intervalo observado (aqui, \lambda=2 acidentes por semana).
  • k é o número específico de eventos que queremos (por exemplo, k=3).
  • k! (fatorial de k) é k\cdot (k-1)\cdot\ldots\cdot1. Ex.: 3!=3\cdot2\cdot1=6.
  • e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828). A notação e^{-\lambda} aparece naturalmente na Poisson.

Passo 3

Calcular a probabilidade de exatamente 3 acidentes em uma semana ( k=3, \lambda=2). Usando a fórmula,
P(X=3)=\frac{2^{3} e^{-2}}{3!}.
Agora calculo passo a passo:
  • 2^{3}=8.
  • 3!=6.
    Logo
P(X=3)=\frac{8\,e^{-2}}{6}=\frac{4}{3}e^{-2}.
Para um valor numérico aproximado uso e^{-2}\approx0,135335. Multiplicando:
P(X=3)\approx\frac{4}{3}\times0,135335\approx0,180447.

Passo 4

Agora a probabilidade de não ocorrer nenhum acidente em duas semanas. Existem duas maneiras equivalentes e didáticas de ver isso:
Método A — soma de Poisson: a soma de contagens independentes de Poisson é Poisson com parâmetro igual à soma dos parâmetros. Aqui, duas semanas independentes, cada uma com \lambda=2, então o total em duas semanas tem Poisson com parâmetro \lambda_{\text{2 semanas}}=2+2=4. Queremos k=0, então
P(\text{0 em 2 semanas})=\frac{4^{0}e^{-4}}{0!}=e^{-4}.
Método B — independência direta: a probabilidade de zero acidentes em ambas as semanas é o produto das probabilidades de zero em cada semana (independência). Para uma semana P(0)=\frac{2^{0}e^{-2}}{0!}=e^{-2}. Então
P(\text{0 em 2 semanas})=P(0\\ \text{semana 1})\cdot P(0\\ \text{semana 2})=e^{-2}\cdot e^{-2}=e^{-4},
que coincide com o Método A. Para valor numérico uso e^{-4}\approx0,018316.

Passo 5

Resumo numérico (arredondando razoavelmente): a probabilidade de exatamente 3 acidentes numa semana é cerca de 0,180447. A probabilidade de nenhuma ocorrência em duas semanas é bem baixa, cerca de 0,018316. Força aí — esses são os cálculos que você provavelmente fará na prova, passo a passo e sem pular nada.

Resposta

\displaystyle P(\text{exatamente 3 em uma semana})=\frac{2^{3}e^{-2}}{3!}=\frac{4}{3}e^{-2}\approx0,180447
\displaystyle P(\text{nenhum em duas semanas})=e^{-4}\approx0,018316

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