0 número de acidentes de trânsito por semana em uma cidade segue Poisson (
).
- Qual a probabilidade de ocorrer exatamente 3 acidentes em uma semana?
- Assumindo semanas independentes, qual a probabilidade de não ocorrer nenhum
acidente em duas semanas?
Passo 1
O enunciado dá que o número de acidentes por semana segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. São feitas duas perguntas:
- Qual a probabilidade de ocorrer exatamente 3 acidentes em uma semana?
- Assumindo semanas independentes, qual a probabilidade de não ocorrer nenhum acidente em duas semanas?
Informações relevantes:é a média (e variância) do número de acidentes por semana; semanas são independentes.
Passo 2
Apresento a fórmula básica da distribuição de Poisson (a ferramenta que precisamos). Se
segue Poisson com parâmetro
, então a probabilidade de observar exatamente
eventos é dada por
Explicando cada símbolo:
-
é a taxa média de eventos no intervalo observado (aqui, acidentes por semana). -
é o número específico de eventos que queremos (por exemplo, ). -
(fatorial de ) é . Ex.: . -
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente ). A notação aparece naturalmente na Poisson.
Passo 3
Calcular a probabilidade de exatamente 3 acidentes em uma semana (
,
). Usando a fórmula,
Agora calculo passo a passo:
-
. -
.
Logo
Para um valor numérico aproximado uso
. Multiplicando:
Passo 4
Agora a probabilidade de não ocorrer nenhum acidente em duas semanas. Existem duas maneiras equivalentes e didáticas de ver isso:
Método A — soma de Poisson: a soma de contagens independentes de Poisson é Poisson com parâmetro igual à soma dos parâmetros. Aqui, duas semanas independentes, cada uma com
, então o total em duas semanas tem Poisson com parâmetro
. Queremos
, então
Método B — independência direta: a probabilidade de zero acidentes em ambas as semanas é o produto das probabilidades de zero em cada semana (independência). Para uma semana
. Então
que coincide com o Método A. Para valor numérico uso
.
Passo 5
Resumo numérico (arredondando razoavelmente): a probabilidade de exatamente 3 acidentes numa semana é cerca de
. A probabilidade de nenhuma ocorrência em duas semanas é bem baixa, cerca de
. Força aí — esses são os cálculos que você provavelmente fará na prova, passo a passo e sem pular nada.