O número de casos de uma doença infecciosa dobra a cada 3 dias. Se houver 100 casos hoje, quantos casos haverá após 12 dias?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Informação dada:
    • O número de casos dobra a cada 3 dias.
    • Hoje há 100 casos.
  • O que o enunciado pede:
    • Quantos casos haverá após 12 dias?

Passo 2

Entendendo o que significa “dobra a cada 3 dias” e como escrever isso com uma fórmula.
Quando uma quantidade dobra a cada intervalo fixo de tempo, isso é um crescimento exponencial com base 2. Se N_0 é a quantidade inicial e T_d é o tempo de duplicação (doubling time), a quantidade após t dias é dada por:
N(t)=N_0\cdot 2^{\,t/T_d}
Explicando a fórmula:
  • N(t) é o número de casos no tempo t.
  • N_0 é o número inicial de casos (aqui N_0=100).
  • 2 é a razão de dobramento (cada período a quantidade é multiplicada por 2).
  • t/T_d é quantas vezes esse período de dobramento ocorre em t dias. Por exemplo, se t=T_d, então t/T_d=1 e multiplicamos por 2^1=2 (ou seja, dobrou uma vez).

Passo 3

Aplicando os números do problema na fórmula. Aqui N_0=100, T_d=3 e t=12. Substituindo:
N(12)=100\cdot 2^{\,12/3}

Passo 4

Calcular o expoente 12/3:
\frac{12}{3}=4.
Portanto a expressão fica:
N(12)=100\cdot 2^{4}.

Passo 5

Calcular 2^{4}. Lembre-se que potências de 2 são multiplicações repetidas por 2:
2^{1}=2,\quad 2^{2}=4,\quad 2^{3}=8,\quad 2^{4}=16.

Passo 6

Multiplicar pelo N_0:
N(12)=100\cdot 16 = 1600.
Explicação prática (sem fórmula): é o mesmo que dobrar 4 vezes (porque 12 dias contém quatro períodos de 3 dias):
  • Após 3 dias: 100\to200.
  • Após 6 dias: 200\to400.
  • Após 9 dias: 400\to800.
  • Após 12 dias: 800\to1600.

Passo 7

Interpretação final e checagem: o resultado 1600 é inteiro e não precisa arredondamento. Faz sentido porque 100\times16 é múltiplo de 100. Está coerente com a ideia de dobrar 4 vezes.

Resposta

1600 casos

Exercícios relacionados