Um número a chama-se valor de aderência da sequência ( x_{n} ) quando é limite de uma subsequência de ( x_{n} ). Prove então que, para que a seja valor de aderência de ( x_{n} ) é necessário e suficiente que, para todo \epsilon>0 e todo k \in \mathbb{N} dados, exista n>k tal que \left|x_{n}-a\right|<\epsilon.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência (x_{n}) e um número a. Diz que um número se chama valor de aderência da sequência quando é limite de alguma subsequência de (x_{n}). Pede para provar que a seguinte afirmação é equivalente (necessária e suficiente) à condição " a é valor de aderência de (x_{n}) ":
Para todo \epsilon>0 e para todo k\in\mathbb{N} dados, existe n>k tal que \left|x_{n}-a\right|<\epsilon.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Temos uma sequência (x_{n}).
Um número a que pode ou não ser valor de aderência.
A condição alternativa envolve quantificadores: "para todo \epsilon>0 e todo k\in\mathbb{N} existe n>k tal que |x_n-a|<\epsilon".
O que precisamos provar: a condição acima é equivalente a "existe uma subsequência de (x_n) que converge para a". Não vamos resolver aqui — só organizei o que foi pedido.
Passo 2
Explico as definições e o que cada coisa significa, devagarinho.
Definição de subsequência e limite:
Uma subsequência de (x_{n}) é uma sequência da forma (x_{n_j})_{j\in\mathbb{N}} onde (n_j)_{j} é uma sequência estritamente crescente de índices naturais (isto é, n_1<n_2<\cdots).
Dizemos que a subsequência (x_{n_j}) converge para a se, segundo a definição \epsilon-N: para todo \epsilon>0 existe J\in\mathbb{N} tal que para todo j\ge J temos \left|x_{n_j}-a\right|<\epsilon.
Interpretação da condição dada:
A condição "para todo \epsilon>0 e todo k\in\mathbb{N} existe n>k tal que \left|x_{n}-a\right|<\epsilon" significa, em palavras, que em qualquer intervalo aberto centrado em a (de raio \epsilon) existem termos da sequência arbitrariamente além de qualquer posição k: não importa o quão à frente você vá na sequência (escolhendo k), há sempre algum termo mais à frente que cai dentro do intervalo (a-\epsilon,a+\epsilon). Uma forma equivalente de dizer isso é: para cada \epsilon>0 há infinitos índices n tais que |x_n-a|<\epsilon.
Vou provar as duas implicações: (i) se a é limite de alguma subsequência então a condição do enunciado vale (necessidade); (ii) se a condição do enunciado vale então existe uma subsequência que converge para a (suficiência).
Passo 3
Hipótese: existe uma subsequência (x_{n_j}) que converge para a. Quero mostrar: para todo \epsilon>0 e todo k\in\mathbb{N} existe n>k com \left|x_{n}-a\right|<\epsilon.
Desenvolvimento passo a passo:
Como (x_{n_j}) converge para a, pela definição \epsilon-N: dado \epsilon>0 existe J\in\mathbb{N} tal que para todo j\ge J vale \left|x_{n_j}-a\right|<\epsilon.
Note que os índices n_j formam uma sequência estritamente crescente, portanto n_j\to\infty quando j\to\infty. Em particular, dado qualquer k\in\mathbb{N} existe j suficientemente grande com n_j>k.
Pegue tal j\ge J que também satisfaça n_j>k. Isso é possível porque há índices arbitrariamente grandes (os n_j crescem sem limite).
Para esse j temos \left|x_{n_j}-a\right|<\epsilon e n_j>k. Então tomando n=n_j obtemos um índice n>k com \left|x_n-a\right|<\epsilon.
Como \epsilon>0 e k\in\mathbb{N} eram arbitrários, a condição do enunciado é satisfeita.
Comentário amigável: a ideia é simples — se há uma subsequência que tende a a, então suficientemente adiante todos os termos dessa subsequência ficam dentro de qualquer bola ao redor de a; como essa subsequência tem índices arbitrariamente grandes, para qualquer k você encontra um desses termos depois de k.
Passo 4
Hipótese: para todo \epsilon>0 e todo k\in\mathbb{N} existe n>k tal que \left|x_{n}-a\right|<\epsilon. Quero construir uma subsequência (x_{n_j}) que converge para a.
Construção explícita (método padrão de escolha por aproximação):
Vamos construir por recorrência uma sequência de índices n_1<n_2<\cdots satisfazendo \left|x_{n_m}-a\right|<\tfrac{1}{m} para todo m\in\mathbb{N}. A razão de escolher \tfrac{1}{m} é que \tfrac{1}{m}\to 0, então isso garantirá convergência para a.
Passo base (m=1): aplique a hipótese com \epsilon=\tfrac{1}{1}=1 e com k=0 (ou k=1 — qualquer número finito serve); existe então algum n_1>0 tal que \left|x_{n_1}-a\right|<1. Escolha esse n_1.
Passo indutivo: suponha que já escolhemos n_1<\cdots<n_{m-1}. Aplique a hipótese com \epsilon=\tfrac{1}{m} e k=n_{m-1}. Pela hipótese existe n_m>n_{m-1} tal que \left|x_{n_m}-a\right|<\tfrac{1}{m}. Escolha esse n_m.
Assim obtemos uma sequência estritamente crescente de índices n_1<n_2<\cdots com \left|x_{n_m}-a\right|<\tfrac{1}{m} para todo m.
Agora verifico que a subsequência (x_{n_m}) converge para a: dado \epsilon>0, escolha M\in\mathbb{N} tal que \tfrac{1}{M}<\epsilon (isso é possível porque \tfrac{1}{m}\to 0). Então para todo m\ge M temos \left|x_{n_m}-a\right|<\tfrac{1}{m}\le\tfrac{1}{M}<\epsilon. Isso é exatamente a definição de convergência da subsequência para a.
Portanto existe uma subsequência de (x_n) que converge para a, isto é, a é valor de aderência.
Comentário amigo: essa construção é muito usada — escolhemos índices consecutivamente garantindo aproximações cada vez melhores; a hipótese garante que sempre é possível encontrar um próximo índice depois do anterior que caia dentro da bola mais pequena.
Passo 5
Conclusão das duas direções:
Mostrei que se a é limite de alguma subsequência então, para todo \epsilon>0 e todo k, existe n>k com \left|x_n-a\right|<\epsilon.
Mostrei também que, se essa propriedade de existência de n>k para todo \epsilon e k vale, então é possível construir uma subsequência que converge para a.
Portanto a condição dada é exatamente a caracterização necessária e suficiente para que a seja valor de aderência de (x_n).
Resposta
a é valor de aderência de (x_n) se, e somente se, para todo \epsilon>0 e todo k\in\mathbb{N} existe n>k tal que \left|x_{n}-a\right|<\epsilon.