Prove que, se
e
, então
.
Passo 1
O enunciado dá duas hipóteses e pede que mostremos uma conclusão clara. Escrevendo em palavras diretas:
- Dados:
e . - Queremos provar:
.
Aqui a sequência
tem duas subsequências evidentes: a dos termos de índice par
e a dos termos de índice ímpar
. O enunciado afirma que ambas convergem para o mesmo limite
. Precisamos mostrar que isso implica que a sequência inteira também converge para
.
Passo 2
Lembrete do conceito que vamos usar (definição de convergência de sequência), explicado devagar:
A definição é: a sequência
converge para
(escrevemos
) se, para todo
, existe um inteiro
tal que, para todo
, temos
- Aqui
é qualquer número positivo pequeno que eu escolher. - O inteiro
pode depender de ; serve para dizer "a partir de qual termo todos os termos da sequência ficam dentro de de ".
Essa é a noção precisa que usaremos para provar a convergência da sequência toda.
Passo 3
Aplicando essa definição às subsequências dadas. Como
, então:
Para o mesmo
fixado, existe um inteiro
tal que, para todo
,
Analogamente, porque
, existe um inteiro
tal que, para todo
,
Expliquei:
é o índice da subsequência (por exemplo
é o
-ésimo termo da subsequência dos pares).
e
dependem de
.
Passo 4
Agora vamos construir um único inteiro
que funcione para a sequência inteira. Seja
Defina
Vou mostrar que este
satisfaz a definição de convergência para a sequência inteira
.
Tomemos qualquer
. Precisamos provar que
. Existem dois casos (dependendo da paridade de
).
Caso 1:
é par. Então podemos escrever
para algum inteiro
. Como
segue
. Como
, pela escolha de
temos
. Ou seja
.
Caso 2:
é ímpar. Então
para algum inteiro
. Como
temos
portanto
é um inteiro maior ou igual a
, em particular
. Como
, pela escolha de
temos
. Ou seja
.
Em ambos os casos chegamos a
sempre que
.
Passo 5
Concluímos que, para todo
existe
tal que, para todo
,
. Pela definição de convergência, isso prova que
(Dica intuitiva rápida: se tanto os pares quanto os ímpares vão para o mesmo número
, então não há “oscilação” entre dois limites diferentes — todos os termos, cedo ou tarde, ficam perto de
.)