Prove que, se \lim x_{2 n}=a e \lim x_{2 n-1}=a, então \lim x_{n}=a.

Passo 1

O enunciado dá duas hipóteses e pede que mostremos uma conclusão clara. Escrevendo em palavras diretas:
  • Dados: \lim_{n\to\infty} x_{2n}=a e \lim_{n\to\infty} x_{2n-1}=a.
  • Queremos provar: \lim_{n\to\infty} x_{n}=a.
Aqui a sequência (x_n)_{n\ge1} tem duas subsequências evidentes: a dos termos de índice par (x_{2n})_{n\ge1} e a dos termos de índice ímpar (x_{2n-1})_{n\ge1}. O enunciado afirma que ambas convergem para o mesmo limite a. Precisamos mostrar que isso implica que a sequência inteira também converge para a.

Passo 2

Lembrete do conceito que vamos usar (definição de convergência de sequência), explicado devagar:
A definição é: a sequência (x_n) converge para a (escrevemos \lim_{n\to\infty} x_n = a) se, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N, temos
|x_n-a|<\varepsilon.
  • Aqui \varepsilon é qualquer número positivo pequeno que eu escolher.
  • O inteiro N pode depender de \varepsilon; serve para dizer "a partir de qual termo todos os termos da sequência ficam dentro de \varepsilon de a".
    Essa é a noção precisa que usaremos para provar a convergência da sequência toda.

Passo 3

Aplicando essa definição às subsequências dadas. Como \lim_{n\to\infty} x_{2n}=a, então:
Para o mesmo \varepsilon>0 fixado, existe um inteiro N_1 tal que, para todo m\ge N_1,
|x_{2m}-a|<\varepsilon.
Analogamente, porque \lim_{n\to\infty} x_{2n-1}=a, existe um inteiro N_2 tal que, para todo m\ge N_2,
|x_{2m-1}-a|<\varepsilon.
Expliquei: m é o índice da subsequência (por exemplo x_{2m} é o m-ésimo termo da subsequência dos pares). N_1 e N_2 dependem de \varepsilon.

Passo 4

Agora vamos construir um único inteiro N que funcione para a sequência inteira. Seja
M=\max(N_1,N_2).
Defina
N=2M.
Vou mostrar que este N satisfaz a definição de convergência para a sequência inteira (x_n).
Tomemos qualquer n\ge N. Precisamos provar que |x_n-a|<\varepsilon. Existem dois casos (dependendo da paridade de n).
Caso 1: n é par. Então podemos escrever n=2k para algum inteiro k. Como n\ge 2M segue k=\dfrac{n}{2}\ge M. Como k\ge M\ge N_1, pela escolha de N_1 temos |x_{2k}-a|<\varepsilon. Ou seja |x_n-a|<\varepsilon.
Caso 2: n é ímpar. Então n=2k-1 para algum inteiro k. Como n\ge 2M temos
k=\frac{n+1}{2}\ge \frac{2M+1}{2}=M+\tfrac{1}{2},
portanto k é um inteiro maior ou igual a M+1, em particular k\ge M. Como k\ge M\ge N_2, pela escolha de N_2 temos |x_{2k-1}-a|<\varepsilon. Ou seja |x_n-a|<\varepsilon.
Em ambos os casos chegamos a |x_n-a|<\varepsilon sempre que n\ge N.

Passo 5

Concluímos que, para todo \varepsilon>0 existe N=2\max(N_1,N_2) tal que, para todo n\ge N, |x_n-a|<\varepsilon. Pela definição de convergência, isso prova que
\lim_{n\to\infty} x_n = a.
(Dica intuitiva rápida: se tanto os pares quanto os ímpares vão para o mesmo número a, então não há “oscilação” entre dois limites diferentes — todos os termos, cedo ou tarde, ficam perto de a.)

Resposta

\lim_{n\to\infty} x_n = a

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