Se uma sequência monótona tem uma subsequência convergente, prove que a sequência é, ela própria, convergente. Dê um exemplo desse fato.

Passo 1

O enunciado pede para provar a seguinte afirmação: se uma sequência (a_n) é monótona e possui uma subsequência convergente, então a própria sequência (a_n) converge.
Informações dadas e o que precisamos mostrar:
  • Temos uma sequência (a_n) que é monótona (ou seja, ou é monotonicamente crescente ou é monotonicamente decrescente).
  • Existe uma subsequência (a_{n_k}) que converge para algum L; isto é, \lim_{k\to\infty} a_{n_k} = L.
  • Precisamos provar que \lim_{n\to\infty} a_n = L (ou seja, a sequência inteira converge e o limite é L).
  • Depois, devemos dar um exemplo que ilustre esse fato.

Passo 2

Vou lembrar definições e fatos que usarei (explicando devagar, como combinamos).
Definições:
  • Uma sequência (a_n) é monotona crescente se, para todo n, a_n \le a_{n+1}. É monotona decrescente se a_n \ge a_{n+1} para todo n.
  • Uma subsequência (a_{n_k}) é uma sequência formada escolhendo índices n_1<n_2<\dots e tomando os termos correspondentes.
  • (a_{n_k}) converge para L significa: para todo \varepsilon>0 existe K tal que, para todo k\ge K, |a_{n_k}-L|<\varepsilon.
Fato útil (que vou usar e também provar de forma direta aqui): uma sequência monótona e limitada converge (teorema do monotone convergence). Vou usar uma prova direta por desigualdades em vez de apelar só ao teorema, para ficar claro e aplicável na prova.

Passo 3

Tratamos primeiro o caso em que (a_n) é monotona crescente. Suponha que existe uma subsequência (a_{n_k}) com \lim_{k\to\infty} a_{n_k} = L. Vou mostrar primeiro que todo termo da sequência satisfaz a_n \le L.
Prova por contradição: suponha que exista algum índice m com a_m > L. Como (a_n) é crescente, para todo n\ge m temos a_n \ge a_m > L. Então, para índices grandes k tais que n_k \ge m, os termos a_{n_k} satisfariam a_{n_k} \ge a_m > L, o que impediria a_{n_k} \to L (pois os termos estariam sempre a uma distância fixa positiva de L). Isso contradiz a convergência da subsequência. Logo, não existe tal m e temos necessariamente
\text{para todo } n,\qquad a_n \le L.

Passo 4

Agora que sabemos a_n \le L para todo n, concluímos que a sequência crescente (a_n) é limitada superiormente por L. Uma sequência monótona crescente e limitada superiormente converge: o limite é o supremo dos termos. Mas vou dar um argumento `epsilon` explícito para mostrar que o limite é exatamente L.
Seja \varepsilon>0. Como a_{n_k} \to L, existe K tal que, para todo k\ge K,
|a_{n_k}-L| < \varepsilon.
Isto implica, para k\ge K,
L-\varepsilon < a_{n_k} \le L.
Como a sequência é crescente, para todo n\ge n_K temos a_n \ge a_{n_K}. Combinando isso com a_n \le L obtemos, para todo n\ge n_K,
L-\varepsilon < a_{n_K} \le a_n \le L.
Portanto, para todo n\ge n_K,
|a_n - L| \le L - a_n \le L - a_{n_K} < \varepsilon.
Assim, dado \varepsilon>0 encontramos N=n_K tal que, para todo n\ge N, |a_n-L|<\varepsilon. Isso demonstra que \lim_{n\to\infty} a_n = L. Ou seja, a sequência inteira converge para o mesmo limite L da subsequência.

Passo 5

Agora tratamos o caso em que (a_n) é monotona decrescente. A argumentação é análoga, trocando desigualdades:
  • Suponha a_{n_k} \to L. Se existisse m com a_m < L, então por decrescimento teríamos a_n \le a_m < L para todo n\ge m, e a subsequência não poderia tender a L. Contradição. Logo, todo termo satisfaz a_n \ge L, isto é, L é um limite inferior para a sequência.
  • Como (a_n) é decrescente e limitada inferiormente por L, ela converge; e usando o argumento \varepsilon análogo (pegar k grande com |a_{n_k}-L|<\varepsilon e usar que para n\ge n_K temos L \le a_n \le a_{n_K} < L+\varepsilon), obtemos |a_n-L|<\varepsilon para todo n\ge n_K. Logo \lim_{n\to\infty} a_n = L.

Passo 6

Resumo do raciocínio (para ficar gravado na cabeça): a convergência de uma subsequência fornece um candidato L para o limite; a monotonicidade impede que a sequência “passe por cima” desse candidato (ou ficar sempre abaixo dele, no caso decrescente), forçando todos os termos a ficarem do mesmo lado de L; combinando isso com a aproximação dos termos da subsequência a L obtemos que todos os termos, para índices grandes, ficam arbitrariamente perto de L. Portanto a sequência inteira converge para L.

Passo 7

Um exemplo simples que ilustra o fato: considere a sequência
a_n = 1 - \tfrac{1}{n}.
  • Essa sequência é monotona crescente (pois a_{n+1}-a_n = \tfrac{1}{n} - \tfrac{1}{n+1} > 0).
  • A subsequência formada pelos termos com índices pares, por exemplo a_{2k} = 1 - \tfrac{1}{2k}, converge para 1. Logo existe uma subsequência convergente com limite L=1.
    Pelo que provamos, a sequência inteira converge para 1: \lim_{n\to\infty} a_n = 1.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = L
Exemplo: \displaystyle a_n=1-\tfrac{1}{n}, com \lim_{n\to\infty} a_n = 1.

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