Se uma sequência monótona tem uma subsequência convergente, prove que a sequência é, ela própria, convergente. Dê um exemplo desse fato.
Passo 1
O enunciado pede para provar a seguinte afirmação: se uma sequência
é monótona e possui uma subsequência convergente, então a própria sequência
converge.
Informações dadas e o que precisamos mostrar:
Informações dadas e o que precisamos mostrar:
- Temos uma sequência
que é monótona (ou seja, ou é monotonicamente crescente ou é monotonicamente decrescente). - Existe uma subsequência
que converge para algum ; isto é, . - Precisamos provar que
(ou seja, a sequência inteira converge e o limite é ). - Depois, devemos dar um exemplo que ilustre esse fato.
Passo 2
Vou lembrar definições e fatos que usarei (explicando devagar, como combinamos).
Definições:
Definições:
- Uma sequência
é monotona crescente se, para todo , . É monotona decrescente se para todo . - Uma subsequência
é uma sequência formada escolhendo índices e tomando os termos correspondentes. -
converge para significa: para todo existe tal que, para todo , .
Fato útil (que vou usar e também provar de forma direta aqui): uma sequência monótona e limitada converge (teorema do monotone convergence). Vou usar uma prova direta por desigualdades em vez de apelar só ao teorema, para ficar claro e aplicável na prova.
Passo 3
Tratamos primeiro o caso em que
é monotona crescente. Suponha que existe uma subsequência
com
. Vou mostrar primeiro que todo termo da sequência satisfaz
.
Prova por contradição: suponha que exista algum índice com
. Como
é crescente, para todo
temos
. Então, para índices grandes
tais que
, os termos
satisfariam
, o que impediria
(pois os termos estariam sempre a uma distância fixa positiva de
). Isso contradiz a convergência da subsequência. Logo, não existe tal
e temos necessariamente
Prova por contradição: suponha que exista algum índice
Passo 4
Agora que sabemos
para todo
, concluímos que a sequência crescente
é limitada superiormente por
. Uma sequência monótona crescente e limitada superiormente converge: o limite é o supremo dos termos. Mas vou dar um argumento `epsilon` explícito para mostrar que o limite é exatamente
.
Seja
. Como
, existe
tal que, para todo
,
Isto implica, para
,
Como a sequência é crescente, para todo
temos
. Combinando isso com
obtemos, para todo
,
Portanto, para todo
,
Assim, dado
encontramos
tal que, para todo
,
. Isso demonstra que
. Ou seja, a sequência inteira converge para o mesmo limite
da subsequência.
Passo 5
Agora tratamos o caso em que
é monotona decrescente. A argumentação é análoga, trocando desigualdades:
- Suponha
. Se existisse com , então por decrescimento teríamos para todo , e a subsequência não poderia tender a . Contradição. Logo, todo termo satisfaz , isto é, é um limite inferior para a sequência. - Como
é decrescente e limitada inferiormente por , ela converge; e usando o argumento análogo (pegar grande com e usar que para temos ), obtemos para todo . Logo .
Passo 6
Resumo do raciocínio (para ficar gravado na cabeça): a convergência de uma subsequência fornece um candidato
para o limite; a monotonicidade impede que a sequência “passe por cima” desse candidato (ou ficar sempre abaixo dele, no caso decrescente), forçando todos os termos a ficarem do mesmo lado de
; combinando isso com a aproximação dos termos da subsequência a
obtemos que todos os termos, para índices grandes, ficam arbitrariamente perto de
. Portanto a sequência inteira converge para
.
Passo 7
Um exemplo simples que ilustra o fato: considere a sequência
- Essa sequência é monotona crescente (pois
). - A subsequência formada pelos termos com índices pares, por exemplo
, converge para . Logo existe uma subsequência convergente com limite .
Pelo que provamos, a sequência inteira converge para: .
Resposta
Exemplo: